不要真正理解符号

Question

我真的不明白我应该如何或证明什么。我已经研究了每一个，但仍然不清楚我的预期。

  

以下哪项陈述属实？证明你的答案。

     

  
1. n²∈O（n³）
  
2. n²∈Ω（n³）
  
3. 2ⁿ∈Θ（2 ^{n + 1} ）
  
4. N！ ∈Θ（（n + 1）！）
  

非常感谢任何帮助！

Answer 1

由于这个（可能是家庭作业）问题已经有几天了，我想我可以简单回答这个问题。

维基百科页面（希望你的教科书和/或笔记也是如此）

f(n) ∈ O(g(n))     ⇔     lim sup |f(n)/g(n)| < ∞
f(n) ∈ Ω(g(n))     ⇔     lim sup |f(n)/g(n)| > 0
f(n) ∈ Θ(g(n))     ⇔     f(n) ∈ O(g(n)) and f(n) ∈ Ω(g(n))

要证明左侧，你可以证明右侧。

由于
，

1. n² ∈ O(n³)为真

   lim sup |n²/n³| = lim (n²/n³) = lim (1/n) = 0 < ∞
   

由于
，

2. n² ∈ Ω(n³)为false

   lim sup |n²/n³| = lim (n²/n³) = lim (1/n) = 0
   

由于
，

3. 2ⁿ ∈ Θ(2n+1)为真

   0 < lim sup |2ⁿ/2<sup>n+1</sup>| = lim (2ⁿ/(2⋅2ⁿ) = lim (1/2) = 1/2 < ∞
   

由于
，

4. n! ∈ Θ((n+1)!)为false

   lim sup |n!/(n+1)!| = lim (n!/((n+1)⋅n!) = lim (1/(n+1)) = 0
   

注意：所有限制都适用于n → ∞。