Question

考虑以下代码：

Require Import List.

Set Implicit Arguments.

Inductive even_length {A : Type} : list A -> Prop:=
| e_nil : even_length nil
| e_cons : forall e l, odd_length l -> even_length (e::l)
with
  odd_length {A : Type} : list A -> Prop :=
  | o_cons : forall e l, even_length l -> odd_length (e::l). 

Lemma map_even : forall A B (f : A -> B) (l : list A),
    even_length l -> even_length (map f l).
Proof.
  induction l.
  (** nil *)
  - intros. simpl. econstructor.
  (** cons *)
  - intros. simpl.
    inversion_clear H.
    econstructor.
    Abort. (** odd_length l -> odd_length (map f l) would help *)

请注意，我希望通过对列表l的介绍来证明这一点。

如here中所述，默认情况下，Coq仅生成非互归原理，并且要获取互归原理，必须使用Scheme命令。这就是我所做的：

Scheme even_length_mut := Induction for even_length Sort Prop
with odd_length_mut := Induction for odd_length Sort Prop.

Check even_length_mut.
(**   
even_length_mut
     : forall (A : Type) (P : forall l : list A, even_length l -> Prop) (P0 : forall l : list A, odd_length l -> Prop),
       P nil e_nil ->
       (forall (e : A) (l : list A) (o : odd_length l), P0 l o -> P (e :: l) (e_cons e o)) ->
       (forall (e : A) (l : list A) (e0 : even_length l), P l e0 -> P0 (e :: l) (o_cons e e0)) -> forall (l : list A) (e : even_length l), P l e 
*)

通过上面的这种类型以及我看到的示例，我设法像这样完成了这一证明：

Lemma map_even : forall A B (f : A -> B) (l : list A),
    even_length l -> even_length (map f l).
Proof.
  intros.
  apply (even_length_mut (fun l (h : even_length l) => even_length (map f l) )
                         (fun l (h : odd_length l) => odd_length (map f l) )
        ); 
    try econstructor; auto.
Qed.

但是，这种归纳并没有超过l，这就是所谓的“证据之上的归纳”。

我的问题是even_length_mut中的谓词应该是什么，所以感应结束了l？

编辑：另外，有可能得到odd_length l -> odd_length (map f l)假设吗？

Answer 1

要通过归纳证明这一点，我们需要归纳引理以得到更强的归纳假设，或者使用自定义归纳方案，该方案将两个元素同时添加到列表中，而不只是一个元素（这也需要这样的归纳）

由于默认归纳方案（induction l）一次仅添加一个元素，因此我们需要一个中间谓词来记录列表中具有偶数长度的状态之间的“状态”，即，需要记住l长度奇数的情况。

Lemma map_odd_even {A B} (f : A -> B) : forall l : list A,
  (even_length l -> even_length (map f l)) /\
  (odd_length l -> odd_length (map f l)).
Proof.
  induction l.

您可以应用相同的思想为偶数长度的列表证明更通用的归纳方案，通过induction l using even_list_ind（induction策略的一种变体）可以很容易地遵循最终定理。< / p>

Theorem even_list_ind {A} (P : list A -> Prop) :
  P [] ->
  (forall x y l, even_length l -> P l -> P (x :: y :: l)) ->
  forall l, even_length l -> P l.

关于相互归纳命题的证明

1 个答案: