FFT查找自相关函数

Question

我正在尝试找到以下随机过程的相关函数： 其中beta和D是常数，而xi（t）是高斯噪声项。

使用Euler方法模拟此过程后，我想找到此过程的自动相关函数。首先，我找到了相关函数的解析解决方案，并且已经使用相关函数的定义对其进行了仿真，并且两个结果非常接近（请参见照片，相应的代码在本文的结尾）。

（图1）

---

现在，我想使用Wiener-Khinchin定理（使用fft）通过实现的fft来找到相关函数，将其乘以其共轭，然后找到ifft来获得相关函数。但是显然我得到的结果与预期的相关函数相去甚远，所以我很确定代码中有些东西我被误解了，以获得错误的结果。

这是我用于解决随机过程的代码（尽管我的代码可能很草率，但我确信它是正确的），以及我尝试使用fft查找自相关的方法：

N = 1000000
dt=0.01
gamma = 1
D=1
v_data = []
v_factor = math.sqrt(2*D*dt)
v=1
for t in range(N):
        F = random.gauss(0,1)
        v = v - gamma*dt + v_factor*F
        if v<0: ###boundary conditions.
            v=-v
        v_data.append(v)


def S(x,dt):  ### power spectrum 
    N=len(x)
    fft=np.fft.fft(x)
    s=fft*np.conjugate(fft)
 #   n=N*np.ones(N)-np.arange(0,N) #divide res(m) by (N-m)
    return s.real/(N)

c=np.fft.ifft(S(v_data,0.01))  ### correlation function 
t=np.linspace(0,1000,len(c))

plt.plot(t,c.real,label='fft method')
plt.xlim(0,20)
plt.legend()
plt.show()

这就是我将这种方法用于相关函数的结果，

这是我使用定义的相关函数代码：

def c_theo(t,b,d): ##this was obtained by integrating the solution of the SDE 
    I1=((-t*d)+((d**2)/(b**2))-((1/4)*(b**2)*(t**2)))*special.erfc(b*t/(2*np.sqrt(d*t)))
    I2=(((d/b)*(np.sqrt(d*t/np.pi)))+((1/2)*(b*t)*(np.sqrt(d*t/np.pi))))*np.exp(-((b**2)*t)/(4*d))
    return I1+I2 

## this is the correlation function that was plotted in the figure 1 using the definition of the autocorrelation. 
Ntau = 500
sum2=np.zeros(Ntau)
c=np.zeros(Ntau)
v_mean=0

for i in range (0,N):
    v_mean=v_mean+v_data[i]
v_mean=v_mean/N
for itau in range (0,Ntau):
    for i in range (0,N-10*itau):
            sum2[itau]=sum2[itau]+v_data[i]*v_data[itau*10+i]
    sum2[itau]=sum2[itau]/(N-itau*10)    
    c[itau]=sum2[itau]-v_mean**2

t=np.arange(Ntau)*dt*10
plt.plot(t,c,label='numericaly')
plt.plot(t,c_theo(t,1,1),label='analyticaly')
plt.legend()
plt.show()

所以有人请指出我的代码中的错误在哪里，如何更好地模拟它以获得正确的相关函数？

Answer 1

我看到的代码有两个问题。

1. 与francis said in a comment一样，您需要从信号中减去平均值，以使自相关达到零。

2. 您用错误的x轴值绘制了自相关函数。

   v_data定义为：

    N = 1000000   % 1e6
    dt = 0.01     % 1e-2
   

   表示t从0到1e4。但是：

    t = np.linspace(0,1000,len(c))
   

   表示您使用t从0到1e3进行绘制。您可能应该使用{p>来定义t

    t = np.arange(N) * dt
   

   看看情节，我想说，将蓝线拉伸10倍会使它与红线很好地对齐。