SICP是错误的，因为它使用了Miller–Rabin证人的错误定义（请参见Keith Conrad，The Miller–Rabin Test）。特别是，以下行是错误的：
错误的说法。 也有可能证明，如果n是不是质数的奇数，那么至少对a
您可以验证其为假，例如n = 9时。
按照上述参考中的定理2.9，正确的陈述应为：
正确的声明。 让n> 1为非质数。然后我们可以将n-1记为（2 ^ e）k，使得e≥1并且k为奇数。 （例如，如果n = 21，我们可以写成21-1 = 20 =（2 ^ 2）·5，那么e = 2≥1且k = 5是奇数。）
可以证明至少对于a
因此，对于n = 21，我们可以证明至少a <21的一半，我们将拥有a ^ 5≢1和a ^ 5≢20以及a ^ 10≢20。我们得到下表。 （所有值均以21为模）：
+----+-----+-------+
| a | a^5 | a^10 | MILLER–RABIN WITNESS?
+----+-----+-------+
| 1 | 1 | 1 | NO, a^5 ≡ 1
| 2 | 11 | 16 | YES
| 3 | 12 | 18 | YES
| 4 | 16 | 4 | YES
| 5 | 17 | 16 | YES
| 6 | 6 | 15 | YES
| 7 | 7 | 7 | YES
| 8 | 1 | 1 | NO, a^5 ≡ 1
| 9 | 18 | 9 | YES
| 10 | 19 | 4 | YES
| 11 | 2 | 4 | YES
| 12 | 3 | 9 | YES
| 13 | 13 | 1 | YES
| 14 | 14 | 7 | YES
| 15 | 15 | 15 | YES
| 16 | 4 | 16 | YES
| 17 | 5 | 4 | YES
| 18 | 9 | 18 | YES
| 19 | 10 | 16 | YES
| 20 | 20 | 1 | NO, a^5 ≡ 20
+----+-----+-------+
当然，a <21的一半以上（实际上，超过75％）满足所有三个全等式a ^ 5≢1，a ^ 5≢20和a ^ 10≢20。
（我们称其为Miller–Rabin见证人；因为他们见证了n不是质数的事实。通常，许多素数检验都依赖于所有素数均具有的某些属性-如果您证明此类属性对某些数均无效，则这个数字不能是素数。见证人越多，素数测试的效果就越好。）
编辑。作为说明素数的一个示例，这是n = 13的表。自然，不可能有任何Miller–Rabin的13位见证人，因为它是素数。没有非原始的见证。由于n = 13，我们有n-1 = 12 =（2 ^ 2）·3，因此e = 2≥1且k = 3是奇数。因此，正如基思·康拉德（Keith Conrad）说明文件的第1页所述，所有a <13将满足三个全等式a ^ 3≡1，a ^ 3≡12，a ^ 6≡12中的至少一个。并且足够确定：
+----+-----+-------+
| a | a^3 | a^6 | MILLER–RABIN WITNESS?
+----+-----+-------+
| 1 | 1 | 1 | NO, a^3 ≡ 1
| 2 | 8 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 3 | 1 | 1 | NO, a^3 ≡ 1
| 4 | 12 | 1 | NO, a^3 ≡ 12
| 5 | 8 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 6 | 8 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 7 | 5 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 8 | 5 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 9 | 1 | 1 | NO, a^3 ≡ 1
| 10 | 12 | 1 | NO, a^3 ≡ 12
| 11 | 5 | 12 | NO, a^6 ≡ 12
| 12 | 12 | 1 | NO, a^3 ≡ 12
+----+-----+-------+
根据@Memes的回答，我已经继续并为其添加了方案代码：
(define (display-all . vs)
(for-each display vs))
(define (find-e-k n)
(define (find-e-k-iter possible-k possible-e)
(if (= (remainder possible-k 2) 0)
(find-e-k-iter (/ possible-k 2) (+ possible-e 1))
(values possible-e possible-k)))
(find-e-k-iter (- n 1) 0))
; first-witness-case-test: (a ^ k) mod n # 1
(define (first-witness-case-test a k n)
(not (= (expmod a k n) 1)))
; second-witness-case-test: all a ^ ((2 ^ i) * k) (with i = {0..e-1}) mod n # (n - 1)
(define (second-witness-case-test a e k n)
(define (second-witness-case-test-iter a i k n)
(cond ((= i -1) true)
(else (let ()
(define witness (not (= (expmod a (* (fast-expt 2 i) k) n) (- n 1))))
(if witness
(second-witness-case-test-iter a (- i 1) k n)
false)))))
(second-witness-case-test-iter a (- e 1) k n))
(define (miller-rabin-test n)
(define (try-it a e k)
(if (and (first-witness-case-test a k n) (second-witness-case-test a e k n))
(display-all "is not prime, with a = " a "\n")
(if (< a (- n 1))
(try-it (+ a 1) e k)
(display "is prime\n"))))
(cond ((< n 2) (display "not prime"))
((= (remainder n 2) 0) (display "not prime\n"))
(else (let ()
(define-values (e k) (find-e-k n))
(try-it 1 e k)))))
不能被愚弄的费马测验的一个变种叫做米勒-拉宾测验（Miller 1976; Rabin 1980）。这从费马小定理的另一种形式开始，该定理指出，如果n是素数并且a是小于n的任何正整数，则升到（n-1）次幂等于1模n。 / p>
- n是素数，a a ^（n-1）= 1（mod n）
要通过Miller-Rabin检验测试数字n的素数，我们选择一个随机数a
因此随机选择一个，并检查a ^（n-1）= 1（mod n）。如果不是不是，那么您知道n不是素数。
但是，每当我们在expmod中执行平方步骤时，我们都会检查是否发现了``1模n的非平凡平方根''，即一个不等于1或n-1的平方等于1模n。
这是关于在expmod函数中添加额外的检查。这可能是您忽略的事情。
有可能证明如果存在这样一个非平凡的平方根1，那么n不是素数。
让我们详细介绍一下。非平凡平方根1将是一个数字x，使得x ^ 2 = 1（mod n）。并且x不为1或-1。
为什么其中之一表明n不是素数？
我们知道x ^ 2-1 =（x-1）（x + 1）和（工作模n）x-1和x + 1都不为零，但其乘积为零。这意味着我们有一个复合模量，您可以通过取这两个值的GCD来将其分解。
也有可能证明，如果n是不是质数的奇数，那么对于至少a
这又是在谈论将内部测试添加到expmod函数的平方分支。
修改expmod过程以发出是否发现平凡根为1的信号，并使用该过程以类似于fermat-test的过程实施Miller-Rabin测试。通过测试各种已知的质数和非质数来检查您的过程。提示：生成expmod信号的一种简便方法是使其返回0。
希望有帮助！询问是否需要其他指导。
我找到了一篇涵盖该测试的论文，并证明了特定结果的证明，即2到n-2之间的值的一半以上将产生非平凡的平方根1。（定理4.1）
我使这段代码仔细检查了
(define (print x) (display x) (newline))
(define (assert p) (unless p (error 'assert-failed)))
(define (power-of-two-split m)
;; write m = 2^e k
(let loop ((e 0) (k m))
(if (even? k)
(loop (+ e 1) (quotient k 2))
(cons e k))))
(define (exp/mod a k n)
;; a^k (mod n)
(cond ((= k 0) 1)
((= k 1) (modulo a n))
(else (modulo (* a (exp/mod a (- k 1) n)) n))))
(define (miller-rabin a n)
(assert (odd? n))
(assert (= 3 (modulo n 4))) ;; only handles e=1 case, need to use power-of-two-split for full test
(let ((k (quotient (- n 1) 2)))
(exp/mod a k n)))
(define (test n)
(for ((i (in-range 2 (- n 2))))
(let ((m (miller-rabin i n)))
(print `(,i -> ,m squared ,(exp/mod m 2 n))))))
(test 15)
它显示以下结果
(2 -> 8 squared 4)
(3 -> 12 squared 9)
(4 -> 4 squared 1)
(5 -> 5 squared 10)
(6 -> 6 squared 6)
(7 -> 13 squared 4)
(8 -> 2 squared 4)
(9 -> 9 squared 6)
(10 -> 10 squared 10)
(11 -> 11 squared 1)
(12 -> 3 squared 9)
因此，按照米勒阿拉伯证人的正式定义核实，他们实际上是全部小姑娘：
定义2.3。对于奇数n> 1，用k个奇数写n-1 = 2 ^ ek并选择a∈{1，。 。 。 ，n − 1}。如果所有的全等都是假的，我们说a是n的Miller–Rabin证人：
*对于所有i∈{0，...，a ^ k = 1 mod n和a ^ {（2 ^ i）k} = -1 mod n。 。 。 ，e − 1}。
您会看到'm'列中的所有值都不为1，而平方列中的任何值都不为14。因此它们都是见证人，因此> 50％是。
正在执行“ check-nontrivial-sqrt1”的代码在n = 3（mod 4）的特定情况下不相关，因为在这种情况下e = 1。
更新：
我刚刚意识到我们有很多证人的原因，但是我们并不总是从他们身上找到平方根：
米勒-拉宾证人的想法是找到一个意外的1 mod n的平方根。这并不总是我们真正发现的，因为质数n的前提n-1≡1 mod n对于复合n可能并不正确。
这是一张n = 15的a ^（n-1）（mod n）表
(2 -> 4)
(3 -> 9)
(4 -> 1)
(5 -> 10)
(6 -> 6)
(7 -> 4)
(8 -> 4)
(9 -> 6)
(10 -> 10)
(11 -> 1)
(12 -> 9)
如您所见，一致性a ^（n-1）= 1（mod n）实际上只有两次。