如何找到具有1，0，-1权重的精确0成本的多维路径

Question

我得到了有向图，其中有n个节点，边为具有向量1（0，-1）的向量（每个向量的长度为m）的权重。我想找到从一个节点到另一节点（我们可以多次访问节点）的任何路径（或者说这种路径不存在），这样其权重之和就等于零向量。我当时在考虑蛮力回溯算法，但不能保证它会结束。我们可以以n和m的方式限制这种路径的长度吗？ n = 8，m = 2的图形示例路径的示例

Answer 1

通过指出如果存在这样的路径，它必须由简单路径和一些循环的混合组成，可以限制路径的长度。这些路径中的每条路径最多可以具有n个长度。对于每个循环，我们都可以有效地应用一个向量，该向量与经历这样一个循环而发生的变化相对应。我们只能构造彼此线性独立的m个周期（请注意，我们可能需要双向移动），这足以覆盖简单路径本身所花费的任何矢量，因此我们可以通过遍历每个周期来解决任何残差循环正确的时间（这取决于这种优势的成本）。对于不同周期的每个矢量效应的有效长度，我们必须经历的不同周期的时间上限等于某个最小公倍数，该乘积具有（粗）渐近界线{{1} }。如果这个上限成立（您可以通过将n划分为大小为n / m的m个区域，然后使它们的质数长度从n / m开始倒数，然后将它们的依存关系链接在一起，来构造一个合理接近的案例。将给出´O（（n / m）^ m）`），则解为指数大小，这意味着使用（并报告）未压缩路径长度的任何算法都不适用于PSPACE（P和NP的超集） ）。