Question

考虑0/1 knapsack problem。标准动态编程算法仅适用于填充背包的容量和权重是整数/有理数。当容量/重量不合理时你会怎么做？

问题在于我们不能像对整数权重一样进行memoize，因为我们可能需要无限权重的无限小数位 - 导致动态编程表的列数无限大。

有没有解决此问题的标准方法？对此问题的复杂性有何评论？任何启发式方法？

如（例如）相关的复发怎么样：
f(x)=1, for x< sqrt(2)

f(x)=f(x-sqrt(2))+sqrt(3),otherwise ？

或者Pibonacci数字问题在这里：http://www.spoj.pl/problems/PIB/？

Answer 1

我不知道任何可以解决你所述类型问题的通用方法。也许可以使用Pibonacci中使用的记忆技术（见下面的第二部分）。

在任何情况下，有时候，我们可以通过利用下面的问题（参见sqrt（2）＆amp; sqrt（3））解决方案来提供真正快速的算法。

将这些问题减少到背包可能不是一个好主意，因为我预计会有其他更快的方法。

所以回答你的问题：

涉及sqrt（2）和sqrt（3）的问题

我会先回答你的第二个问题。

f(x) = 1 for x < sqrt(2). (x >= 0 also, I presume)
f(x) = f(x-sqrt(2)) + sqrt(3)

这可以非常快速地解决（在O（log logn）时间！），仅使用整数运算（假设为O（1）），期望最后一步需要乘以sqrt（3）并加1

鉴于n，我们需要找到最小的m

n - m sqrt(2) < sqrt(2)

即

n - m sqrt(2) < sqrt(2) => n < (m+1)*sqrt(2) => n * sqrt(2) < m+1

和

n - (m-1)sqrt(2) > sqrt(2) => n > m sqrt(2) => n*sqrt(2) > m.

因此，m是n*sqrt(2)

的整数部分

我们有f（n）=（m-1）* sqrt（3）+ 1.

因此，我们只需计算[n *sqrt(2)] n*sqrt(2)的整数部分。{/ p>

这可以通过使用sqrt（2）的Continued Fractions来快速计算，它是sqrt（2）的有理逼近，并且它们在某种意义上是给定分母大小的“最佳”近似值。

可以使用递归形成sqrt（2）的连续分数a（i）/ b（i）：

a0 = 1
b0 = 1
a(i+1) = a(i) +2*b(i)
b(i+1) = a(i) + b(i)

可以证明，为了近似[n * sqrt（2）]，考虑一些奇数i就足够了，其中b（i）> 10 * n ^ 2（使用Liouville's approximation Theorem和连续分数的定理）和那个[n*sqrt(2)] = [n*a(i)/b(i)]。

现在a（i），b（i）满足矩阵方程

[1 2] [a(i)]    [a(i+1)]
[1 1] [b(i)]  = [b(i+1)]

因此我们需要计算矩阵的幂

[1 2]
[1 1]

使条目大于10 * n ^ 2.

可以证明矩阵的所需功率是O（logn），因此可以仅使用整数运算（假设为O（1））在O（log log n）时间内计算。

因此，函数f在n处的值可以使用整数运算在O（log logn）时间内计算（最后一步除外，您需要将整数乘以sqrt（3））。

Pibonacci号码

从您的评论中，这是问题

g(x) = 1 if 0 <= x < 4
g(x) = g(x-1) + g(x-pi) x >= 4

这可以使用memoization来解决：

让h(m,n) = g(m - n*pi)

然后我们有了

h(m,n) = h(m-1, n) + h(m, n+1)

所以我们有那个

g(m) = g(m-1) + h(m, 1)

现在可以通过维护两个表来使用memoization，一个用于g（m），另一个用于h（m，n）。请注意，即使你需要计算h(m,n+1)，增加n只会减少m -n * pi，并且会在合理的时间内（0（m）我会在0到4之间），因此你不会继续永远。

这不像sqrt（2）和sqrt（3）解决方案那样好（或快），但我相信它确实提供了一种计算方法。

0-1具有无理系数的背包

也许对非理性进行更好和更好的理性近似，然后求解近似的0-1背包问题将最终收敛到正确的解决方案。

我的猜测是，此迭代中的固定点将为您提供解决方案。

当然，随着近似值变得越来越好，动态编程算法中的W in O（nW）很快就会变成指数，你可能会考虑所有可能性。

Answer 2

作为对复杂性的快速评论，背包问题是NP-Complete（因此没有正确的多项式时间算法）。看起来，至少在直觉上，这也是NP-Complete（如果你可以正确地解决它并且无限小数位，你也可以在无限小数位全为零时解决它...即一个整数背包）。