带有加权边的1/0背包变化

Question

我目前正在调查一个路由问题（找到一个地方子集[每个都有一定分数]我想访问但不超过最长旅行时间）并提出了1/0背包的变化似乎解决了我原来问题的问题。

据维基百科称，1/0背包被描述为：

  

给定一组具有质量和值的项目，确定要包含在集合中的每个项目的数量，以使总权重小于或等于给定限制，并且总值与可能的。

因此，对于每个项目，都有一个固定的重量（质量），可以在尝试解决问题时轻松使用，例如使用动态编程。

但是，如果特定商品的重量取决于包的先前内容，该怎么办？换句话说（以更一般的方式）：让我们考虑以下完整的图表：

每个节点（A，B，C，D，E）代表我可能想要放入背包的物品。假设每个节点也分配了一个值（在图中省略）。我仍然希望有一个最佳的背包，因此是具有最高分数的节点的子集，但是这次重量（或将特定节点添加到我当前的背包的成本）不分配给节点本身而是分配给边缘导致它。

这意味着添加节点的成本取决于背包的先前内容（例如，通过使用来自任何已包含节点的成本最低的边缘）。例如，如果我当前的背包由{A，C}组成，则添加B的成本为2（采用A-> B或C-> B）。如果我目前的背包由{D，E}组成，则添加B的成本为3。

不幸的是，我无法提出一个很好的算法来解决这个问题。 经典的背包DP方法在这里并不真正起作用，因为您可以轻松地构建不返回最优解的情况。例如，如果你开始使用＆＃34;错误的＆＃34;节点添加一个非常好的节点（应该包含在一个最佳的解决方案但很晚才尝试）的成本可能超过容量。

我对这个问题采取了完全错误的方法吗？你认为有更好的算法来解决这个问题吗？

Answer 1

首先，这个问题是NP难的。这是从加权完整图中的最短哈密顿路径到这一路径的缩减。给定一个图形，我们可以将所有节点的值分配给1，然后在答案上运行二进制搜索。如果存在针对此问题的多项式解，则可以判断是否存在包含所有顶点并且不长于给定值的路径。因此，我们将能够在多项式时间内解决最短的哈密顿路径问题。在实践中，这意味着没有人知道对您的问题有效的正确多项式解决方案。

现在有两种方法：

1. 如果顶点数量相当小（大约20），则可以使用动态编程来获得精确解。州是(mask, last_vertex)。该值是我们访问mask中所有顶点并停在last_vertex中所需的最短时间。此解决方案的时间复杂度为O(2^n * n^2)。

2. 如果顶点数量更大，您可以找到近似解。有很多方法可以做到：启发式，不同的贪心算法，随机抽样和局部优化等等。