查找某些条件下合并排序的时间复杂度

Question

给出一个改变的合并排序算法，使得如果数组已经排序，该算法将返回该数组，而不是再进行两次递归调用。 假设我们在一个数组上运行新算法，其中每个值正好出现n / log（n）次。 （为此，该数组包含log（n）个不同的值。）

该算法的时间复杂度是多少？

Answer 1

如果您怀疑数组具有很少的不同值，则扫描数组以提取这些值，对它们进行排序和计数，比对数组执行完全合并排序所花的时间要少得多：

• 如果您使用哈希表，则选择值将花费 O（N）时间，生成大小为 log（N）的示例数组。
• 对该示例数组进行排序应采用 O（log（N）.log（log（N））），与扫描阶段相比可以忽略不计。
• 枚举样本数组以将副本生成到原始数组中还具有线性时间复杂度 O（N）。

因此，时间复杂度可以降低为 O（N）。

但是请注意：

• 使用哈希表来构造样本数组可能不可行。相反，如果您构建一个排序列表，则由于线性查找每个元素的样本数组，因此复杂度跳回到了 O（N.log（N））。
如果原始数组的元素具有相同的键但内容不同，则
• 生成元素的副本可能不够用。在这种情况下，您将扫描原始数组并在示例数组中查找元素的键，以确定将元素存储在结果数组中的位置，再次 O（N.log（N））如果样本数组是列表，则 O（N.log（log（N））），如果您是数组并且您使用二进制搜索。

结论是，在特殊情况下可以有效降低复杂性，但在一般情况下则很棘手。