合并排序复杂性

Question

我们知道合并排序具有以下算法的时间复杂度O（nlogn）：

void mergesort(n elements) {
mergesort(left half);  ------------ (1)
mergesort(right half); ------------(2)
merge(left half, right half);

以下实施的时间复杂性是什么？

(1)
void mergesort(n elements) {
    mergesort(first quarter);  ------------ (1)
    mergesort(remaining three quarters); ------------(2)
    merge(first quarter, remaining three quarters);

(2)
void mergesort(n elements) {
    mergesort(first quarter);  ------------ (1)
    mergesort(second quarter); ------------(2)
    mergesort(third quarter);  ------------ (3)
    mergesort(fourth quarter); ------------(4)
    merge(first quarter, second quarter,third quarter, fourth quarter);

请详细说明如何找到复杂性。

Answer 1

仍为O（n log n），因为n = log n / log 4的log base 4，最终为常量。

[编辑]

合并排序算法与k分割的恢复关系如下。我假设合并k个排序的数组总共n个元素花费n log2（k），log2代表log base 2。

T(1) = 0
T(n) = n log2(k) + k T(n/k)

我可以将恢复关系解决为：

T(n) = n log2(n)

无论k的值如何。

Answer 2

请注意，这不是您问题的准确答案，而是一个提示。

首先，我们需要了解默认合并排序的时间复杂度是n（log n）。

如果我们有8个元素并且默认使用mergesort方法，如果我们每次将它们分成一半直到我们到达只包含一个元素的组，那么我们将需要3个步骤。

所以这意味着在N个元素上调用mergersort 3次。这就是为什么时间复杂度是3 * 8，即（log N）* N

如果您要将默认分区从一半更改为其他比例，则必须计算您到达1个元素组所需的步数。

另请注意，此答案仅旨在解释如何计算复杂性。所有分区方法的大O复杂度是相同的，如果以有效的方式实现其他2分区将具有N（logN）的精确复杂度

Answer 3

您发布的所有三种算法都是O（n log n），只是略有不同的常数。

基本思想是它需要log（n）次传递，并且在每次传递中你都会检查n个项目。分区的大小并不重要，事实上，您可以使用不同大小的分区。它始终适用于O（n log n）。

运行时差异将在merge方法中。合并排序列表是O（n log k）操作，其中n是要合并的项目总数，k是列表数。因此，合并两个列表的是n * log(2)，这适用于n（因为log2(2) == 1）。

有关详细信息，请参阅我对How to sort K sorted arrays, with MERGE SORT的回答。