Question

我们有N组三元组，例如

1. { (4; 0,1), (5 ; 0.3), (7; 0,6) }
2. { (7; 0.2), (8 ; 0.4), (1 ; 0.4) }
...
N. { (6; 0.3), (1; 0.2), (9 ; 0.5) }

，并且需要从每个三元组中仅选择一对，这样一对中的第一对成员的总和将是最小的，但是我们还有一个条件，即一对第二中的成员之和必须不少于给定的P数字。

我们可以通过将所有可能的对组合与它们的第一成员的总和（3 ^ N个组合）进行排序来解决此问题，然后在该排序列表中选择第一个也满足第二个条件的组合。您能帮忙建议一个更好，更简单的解决方案吗？

Answer 1

如果三元组内部的值没有限制，那么我们将面对integer programming problem的一个相当通用的版本，更具体地说是0-1线性规划问题，因为它可以表示为方程组每个系数均为0或1。您可以在Wiki页面上找到可能的方法，但是通常没有快速简便的方法可以解决此问题。

或者，如果每对的第二个数字（需要合计为>= P的数字）在足够小的范围内，那么我们可以将其视为类似于Knapsack的动态编程问题问题。 “足够小”很难定义，因为原始数据具有非整数。如果它们是整数，那么我将描述的解决方案的算法复杂度为O(P * N)。对于非整数，首先需要将它们以及P乘以足够大的数字，然后将它们首先转换为整数。在您的示例中，每个数字的精度为零后的1位数字，因此乘以10就足够了。因此，实际的复杂度为O(M * P * N)，其中M是所有因素相乘以获得整数的因子。

此后，我们实质上是在解决一个改进的背包问题：不是从上方约束重量，而是从下方约束重量，并且在每个步骤中，我们从三元组中选择一对，而不是决定是否放置是否将物品放入背包。

让我们定义一个函数minimum_sum[i][s]，如果值i, s表示（如果到目前为止取的第二对数字中的第二对数字的总和），则可以实现的最小可能总和等于s，我们已经考虑了前i个三元组。此定义的一个例外是，minimum_sum[i][P]对于所有超过P的总和也是最小值。如果我们可以计算该函数的所有值，那么minimum_sum[N][P]是答案。函数值可以通过如下方式计算：

minimum_sum[0][0]=0, all other values are set to infinity
for i=0..N-1:
  for s=0..P:
    for j=0..2:
      minimum_sum[i+1][min(P, s+B[i][j])] = min(minimum_sum[i+1][min(P, s+B[i][j])], minimum_sum[i][s] + A[i][j]

A[i][j]表示第i个三元组的第j对中的第一个数字，B[i][j]表示同一个三元组的第二个数字。

如果N大但P小而在B上的精度不太高时，此解决方案是可行的。例如，如果使用N=50，几乎没有希望计算3^N的可能性，但是使用M*P=1000000时，这种方法将非常快地工作。

上述想法的Python实现：

def compute(A, B, P):
  n = len(A)
  # note that I use 1,000,000 as “infinity” here, which might need to be increased depending on input data
  best = [[1000000 for i in range(P + 1)] for j in range(n + 1)]
  best[0][0] = 0
  for i in range(n):
    for s in range(P+1):
      for j in range(3):
        best[i+1][min(P, s+B[i][j])] = min(best[i+1][min(P, s+B[i][j])], best[i][s]+A[i][j])
  return best[n][P]

测试：

A=[[4, 5, 7], [7, 8, 1], [6, 1, 9]]
# second numbers in each pair after scaling them up to be integers
B=[[1, 3, 6], [2, 4, 4], [3, 2, 5]]

In [7]: compute(A, B, 0)
Out[7]: 6

In [14]: compute(A, B, 7)
Out[14]: 6

In [15]: compute(A, B, 8)
Out[15]: 7

In [20]: compute(A, B, 13)
Out[20]: 14

如何更有效地从满足给定条件的n个集合中找到最小构图？

1 个答案: