动态编程-具有最大切割和实际解决方案的杆切割问题

Question

因此，我正在尝试为rod cutting problem的修改版本编写代码。该链接很好地说明了问题。但是，我想修改代码以不仅实际返回解决方案（即哪些割线可提供最佳解决方案），而且还将割线数限制为最大k。

为证明概念，我正在尝试创建一种算法来实现这一目标。以下是到目前为止的内容，我认为它成功返回了实际的解决方案，但是，我不知道如何将最大值限制为k。

 let r[0..n] be a new array
 r[0] = 0
 for j = 1 to n
    q = -1
    for i = 1 to j
        for k = 0 to n-1
          q = Math.max(q[n][k], p[i] + q[n-i-1][k-1]);
    r[j] = q
 return r[n]

请不要在您的答案中提供实际的代码，我想自己实现，我只需要调整我的算法以提供正确的解决方案即可。

更新1：通过向数组添加第二维，我已经能够找到最多k个切口的最佳解决方案。如上面的代码所示。

Answer 1

正如您所说，您已经拥有了最佳的解决方案，此答案仅包括如何追溯确切的解决方案（在每个步骤进行切割）。

存储长度= n且最大切割= k的候选切割

为此，您只需要一个2维数组（例如visit[n][k]）来存储制作的切割，该切割可获得q[n][k]的最大解。在伪代码和递归关系方面，如下所示。

for each value of i:
  q[n][k] = q[n][k-1]
  visit[n][k] = -1
  if q[n][k] < p[i] + q[n-i-1][k-1]:
    q[n][k] = p[i] + q[n-i-1][k-1]
    visit[n][k] = i

说明

• 可能没有最大程度地扩大解决方案的切入点。在这种情况下，我们初始化visit[n][k] = -1。
• 每次，我们都有一个候选人在n处切割长度length=i+1的杆，即。我们可以通过切割获得更好的价格，我们将相应的切割存储在另一个二维数组中。

重构解决方案

使用此二维数组（visit[n][k]）来追溯精确的切割，您可以使用以下伪代码（我故意避免使用代码，因为您提到您不需要它）。

cuts = []
while k > 0:
  i = visit[n][k]
  if i != -1
    // If there is a cut
    cuts.push(i + 1)
    n = n - i - 1
  k = k - 1

说明

• 我们从k迭代到0。
• 每次visit[n][k]不是-1时，即最好在某处切割，我们在切割后重新分配n，即。 n = n-i-1并将结果cut存储在数组cuts中。
• 最后，cuts将包含导致最佳解决方案的精确切割。

请注意，就递归关系中使用的变量而言，问题中存在的伪代码有些不正确。 q用于存储DP 2-d数组和整数-1。 j根本没有在自下而上的DP中使用，而是由常量n代替。 q[j][k]未初始化。但是，总体思路是正确的。