我想知道函数式编程中“对偶方法”可以解决什么样的现实问题。更准确地说，我想知道是否有人确实使用了我下面提到的二元方法，或者是否有其他有趣的例子。我对现有的实现特别感兴趣，可能在Haskell中。
[由于大多数对这个问题感兴趣的人可能都知道Haskell，请允许我添加Haskell标签，即使这个问题与语言无关]
让我通过几个例子来解释我所说的二元性（缺乏一个更好的名字）。第一个是实数。假设存在Integer和Rational类型，并将实数定义为函数（原谅我的Haskell，我不是铁杆的哈克勒）
type Real = Integer -> Rational
这样，只要x :: Real表示实数x，x n就会产生一个在x的2^(-n)范围内的有理数。
现在可以做到
(+) :: Real -> Real -> Real
(+) x y n = (x $ n + 1) + (y $ n + 1)
或类似地用于其他算术运算。给定连续的实函数f，只要可以为f x计算modulus of continuity，就可以计算f。
这样做的好处是可以编写自然的代码，最后自动获得所需的精度。但是，不再可能比较实数是否相等。 x和y之间唯一可能的比较是x < y + eps。
二元性的另一个例子是this question on probability measures，它引发了我脑海中的当前问题。让我们写一下
type Measure a = (a -> Double) -> Double
并将度量定义为针对函数的集成过程。在链接的问题中，我展示了在这个框架中表达诸如卷积或前推之类的概念是多么自然，这些概念在概率密度的水平上定义要困难得多（在计算上，但在理论上也是如此）。 / p>
它允许人们从概率论中构建构建块，原则上允许人们构建复杂的蒙特卡罗程序，甚至允许人们使用显式概率密度（以数值积分为代价）。我对这个主题的真实世界图书馆的任何尝试都特别感兴趣。
我想到的另一个例子，但还没有完全形式化的是矢量场（来自微分几何）的概念，可以表示为微分算子 。为此，需要一种合适类型的“平滑实值函数”，然后矢量场就像这样：
type VectorField = SmoothFunction -> SmoothFunction
这样v (f * g) = f * (v g) + g * (v f)。
当然，在Haskell中描述一堆常规函数应该不容易。但通过这样做，我们可以以完全独立的方式表达所有来自微分几何的东西，并在最后插入坐标。
还有其他例子，例如。 泰勒系列已在Sigfpe的博客中讨论过（虽然我找不到这篇特别的帖子），其中分析函数的类型如下：
type AnalyticFunction = Double -> Integer -> [Double]
并且f x n返回n围绕f x的泰勒展开的f / g首部分和。这允许我们在分析函数上无缝地编写所有类型的算法，包括像f这样的东西，其中g和f^(-1)都可以在某一点上消失（以及它们的一些衍生物），或者偶f'（提供{{1}}不会消失）。最后，只计算中间序列的必要项以产生给定表达式的值。
答案 0 :(得分：32)
您的示例的共同特征是通过函数表示某些（数学）对象。这在函数式语言中很常见，但不像数学那样实用，因为程序中的函数是扩展使用的（你不能检查它们的定义，只能观察它们对参数的作用），并且只能用可计算的操作（你只能观察有限数量的参数）。
在数学中，你不必费心这些东西，例如你经常说“如果f是解析，那么让（a_n）成为它的系数序列，并且......”。在计算机语言中，如果从类型Double -> Integer -> [Double]的函数开始，将它转换为可以轻松恢复系数的表示将会很痛苦。在编程语言中，函数真的是黑盒子。
出于这个原因，程序员经常尝试使用显式数据表示而不是功能黑盒子。您可以轻松地从数据表示中获取函数（它是一种评估或解释），而另一种方式可能更难，效率更低等。请参阅Conal Elliott的“Everything is a function” in Haskell?。
然而，在我们真正需要拉伸对象的情况下仍然使用函数，这些对象只能被观察而不是被检查。对于要定义的对象的每个可能的观察，您将提供实现此观察的功能。在您的示例中，您只有一个函数，因为您只有一个观察。这是William Cook在他的On Understanding Data Abstraction, Revisited论文中定义的面向对象编程的核心思想。
我认为你将这与“二元性”这个术语联系起来的原因（在Haskell知识分子中，与类别理论概念相关的术语）是指从一个物体转向一种特定的观察形式。它有时被称为数学中的二元性，并且具有在任何地方添加函数的效果。例如，有一个向量空间对偶的经典例子，特别是双向构造，它实际上是从向量到线性函数观察的转换：你从V切换到{{1} }，用于(V -> K) -> K矢量空间下面的字段。
（会不会想到延续阅读我的最后一个例子？当然这些是相关的，因为这种延续的表示实际上是对具体评价背景的“观察”，以他们对价值的行为来表示。）
您对概率度量的表示实际上用于定义函数式语言中的概率度量单子。有不同的方法来定义概率单子。参见Norman Ramsey和Avi Pfeffer的例如http://www.cs.tufts.edu/~nr/pubs/pmonad-abstract.html。然而，概率DSL的大多数实际实现使用更具体的表示，例如K对列表（Haskell probability库和OCaml HANSEI）。
最后，有关将实数表示为函数的示例，请参阅Russel O'Connor的A Monadic, Functional Implementation of Real Numbers。存在许多“可计算”数字的表示并且具有不同的优点，并且它们中的大多数基于序列，因此可以表示为[(prob,event)]函数。