多项式逆

Question

我有一个五阶多项式：

y = ax ⁵ + bx ⁴ + cx ³ + dx ² + ex + f

系数a-f是已知的，我需要计算给定y的x。我可以使用Newton-Raphson算法或类似算法，但如果可能的话，我更喜欢非迭代解决方案。

编辑：我想在发布我的问题之前我没有想到这一点。我的多项式系数是根据采样数据计算的，在这种特殊情况下只有一个根。当然，在一般情况下，当然可能有五个不同的根源。我想我也会将采样数据拟合成逆多项式，然后用它来计算y中的x。

Answer 1

找到多项式的根是困难和棘手的。获得稳定可靠的算法会让您头疼。牛顿+根去除似乎是一个好主意，但正确地使这项工作真的很痛苦。

一个明显的问题是根部移除的稳定性。另一个问题是复杂的根源。另一个难题是（数字上）多个根，你会失去很多精确度。

最先进的黑匣子算法是Jenkins-Traub。但是，它很难实现，因此您必须在某处找到（或支付）实现。

然而，如果您可以访问线性alebra包，那么简单，稳健，稳定且有效的方法是计算companion matrix的特征值。这就是例如。 GSL确实。

Answer 2

J Trana已经回答了这个问题，但答案是你通常无法找到一个算法（这是使伽罗瓦闻名的数学结果）。

此外，如果这不是一个家庭作业问题，你可能不希望算法解决激进派中的问题，因为这在数字上会表现得很糟糕。

Answer 3

Newton-Raphson只会给你一个解决方案。其中最多可以有5个用于五重奏。

如果你想要所有的解决方案 你需要将Newton-Raphson配对去除根或使用更健壮的东西。

一种常用方法是使用Sturm polynomials