寻找四元数，代表从一个向量到另一个向量的转化

Question

简介。

以前，我曾asked a question将 rgb 三元数转换为四元数。在提出这个问题之后，我设法获得了单元四元数，但是我对它们的内部结构感到怀疑。没有简单的方法来操作它们，以及分隔 luma 和 chroma ，因为它们是单位长度的四元数。根据我对它的感觉，亮度应该编码为实数部分或整个大小。颜色“ chroma ”信息应在虚部编码。

今天，我决定采用另一种方法来进行改进，与上面链接中的第一种方法不同。我认为它会成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），而且还可以存储比例。首先是第一件事，所以我将从解释下一个想法开始。在以下说明中，我将使用 GLSL 着色器语法。

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方法描述和问题正文。

对于图像的某些像素，让我们设想一个3D向量vec3 u，它位于单位立方体内，其中正坐标位于封闭范围[0.0，1.0]中，并代表完整的 rgb 色彩空间。因此，u的坐标，u.x，u.y和u.z分别代表该像素的红色，绿色和蓝色值。然后让我们取纯白色矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。然后定义一些四元数q，以便我们的向量u是“ v”，并用四元数q进行旋转和缩放。简单来说，q必须回答问题“如何转换v，以便获得最初构想的颜色u？” 。并为该“旋转和缩放”操作引入功能：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我将其称为“四元数到颜色”转换器。

编写q2c(q, v)很简单，just as defined： q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q' 。在此，“ *”运算符表示quaternion multiplication；让它成为一个函数vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2)。 “ q'”表示q的{​​{3}}，让它成为vec4 qconj(in vec4 q)。省略它们的简单实现（您可能会在完整的源代码中找到），我们将使用经典代码：

vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
    return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}

因此，现在我们有了q2c(q,v)函数，该函数通过旋转和缩放某些选定的3D向量q将四元数v转换为颜色。

问题是如何找到四元数q？

从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v) -相应的“颜色到四元数”转换器。

请注意，如果没有充分的理由，请勿触摸q2c()。例如，逻辑上的一个严重错误，导致“无法解决任务”，您可以证明这一点。

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如果答案正确，您如何检查？

实际上，如果您设法来回转换，那么将获得初始值的事实将产生检查方法。因此，检查条件为对于任何非零长度v，u必须始终等于q2c(c2q(u, v), v) 。 v的长度必须为非零，因为一个人不能“缩放零”以获得“某物”。

为了简化工作，我已经使用shadertoy.com服务准备了conjugate。

您需要一台像样的计算机，能够正常工作的互联网连接，以及具有webGL支持的网络浏览器（我使用的是Chrome）。程序应该可以在任何GPU上运行，甚至可以嵌入到Intel的处理器中。它甚至可以在我的低端智能手机上使用！

要测试您的答案，您应该将以GLSL语法编写的建议公式放在c2q()函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：testing program

左侧的图像表示一些未更改的源像素。右半部分将包含由q2c(c2q())前后转换的像素。显然，两半必须在视觉上相等，您不应注意到任何垂直线。可能会出现一些数学上的（很小的）误差 ，但这仅是由于浮点的性质-有限的精度和可能的舍入误差。

可以随意进行编辑和实验，更改只能在本地计算机上完成，并且不会破坏任何内容。如果视频在第一次打开时未播放（阴影玩具错误），请尝试暂停/取消暂停它。享受吧！

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尝试c2q()的人

如果一切正确，则图像的右侧（处理后的图像）应与左侧（原始图像）相等。在这里，我将回顾一下不同的结果，这些结果是通过在xxxxx实现中放一些东西而不是c2q()来获得的：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    return xxxxx;
}

让我们继续吧！

• 最初，我认为这必须可行： vec4(cross(u, v), dot(u, v))：

• 中的一个： vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )： SE answers

• 他的提示是“ 别忘了标准化q ”： normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ))：

• @minorlogic的评论似乎更近了： 按q 缩放所有sqrt( length(v)/length(u) )的组成部分， vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) )：

• 交换比率： vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) )：

Answer 1

我的尝试

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
    vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
    vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
    return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}