Question

首先，这不是重复。所有其他看似相关的问题都要求四元数表示2个向量的方向之间的旋转，即解决方案没有考虑这两个向量的规范。

这就是我想要的。想象一下，我有非单位向量a = (0, 0, 2)和b = (3, 1, 2)。遵循原始汉密尔顿对四元数q = a / b的定义（这个定义是象征性的，因为你当然不能分割向量）。请参阅 Wikipedia for this concept 。从那以后我可以推断出（也许是天真的）我可以找到q这样的q * b = a。

换句话说，给定a和b我想找到一个四元数q，当乘以b时，它会给我a。请注意，我对普通旋转（单一）四元数不感兴趣，只需将b旋转到a的方向。事实上，除了轮换之外，我还希望将b的范数缩放到a的范数。

是的，我知道我可以分两个阶段进行：使用标准的单一四元数方法旋转b，然后手动将旋转的b缩放到a的范数当然涉及额外的平方根（这是我在这里要避免的）。事实上，我想要这两个操作的计算有效组合，我觉得它是可以实现的，但是信息并不普遍，因为它似乎不是传统的用例。

也许我错了。请分享您的经验。谢谢。

为什么不math.stackexchange.com？

因为我对彻底的数学推导或解释不感兴趣。我关心的是用于构造这种四元数的计算上有效的算法。尽管如此，如果这些细节将包含在答案中，我真的很感激，也可能是其他人在未来偶然遇到同样的问题。

关闭选民：

继续关闭Finding quaternion representing the rotation from one vector to another。

此外，我已正确标记了我的问题。我的问题属于这些高度填充的标签，它们是StackOverflow的一部分。因此，你关闭的原因没有任何意义。

Answer 1

Daniel Fischer的评论答案是正确的。事实证明，有无限的方法来构造这样的四元数。问题归结为具有三个方程和四个变量的线性系统。它受到限制（如果我们假设我们将丢弃结果的[w]部分）。

也许我可以澄清费舍尔的答案。

当你将两个向量视为四元数并将它们相乘时，你会在[x，y，z]部分得到它们的交叉积，并在[w]部分得到它们的否定点积：

    | 0| | 0| |-ax*bx-ay*by-az*bz|
a*b=|ax|*|bx|=|    ay*bz-az*by   |
    |ay| |by| |    az*bx-ax*bz   |
    |az| |bz| |    ax*by-ay*bx   |

当你使用向量左移乘四元数时，得到相同的东西，但[w]部分缩放向量并将其添加回交叉积：

    |qw| | 0| |-qx*bx-qy*by-qz*bz|
q*b=|qx|*|bx|=| qy*bz-qz*by+qw*bx|
    |qy| |by| | qz*bx-qx*bz+qw*by|
    |qz| |bz| | qx*by-qy*bx+qw*bz|

回想一下

a x b = |a||b|sin(Θ)n

其中n是与a和b正交的单位矢量。和

a . b = |a||b|cos(Θ)

向量的四元数共轭只是它的否定。

因此，如果我们看一下Fischer的等式：

a = q*b = |b|^{-2} * a * b' * b

我们可以看到

a*b' = | -dotP(a,-b)| 
       |crossP(a,-b)|

所以

a*b'*b = |        -dotP(crossP(a,-b),b)         |
         | crossP(crossP(a,-b),b) - dotP(a,-b)b |

此四元数的顶部（[w]）部分必须为零，因为它是两个正交矢量之间的点积。底部是a的缩放版本：嵌套的交叉产品生成与b和n正交的向量，并且是|a|*|b|*|b|的长度。点积部分将a的投影添加到b上（按b的平方长度缩放）。这使它与a平行。一旦我们将b的平方长度除去，剩下的就是a。

现在，这个实际上是否有用的问题是不同的。找到a并不是很有用，因为你需要先开始使用它。此外，q*c不会做你想要做的事情的可能性很大，但是你必须告诉我们这是什么。

确定将一个向量发送到另一个向量的四元数

1 个答案: