估计收敛速度，有限差分格式

Question

我正在尝试估计序列的收敛速度。

背景：

u ^ n + 1 = G u_n，其中G是迭代矩阵（来自热方程）。

修复dx = 0.1，并设置dt = dx * dx / 2.0以满足稳定性约束 然后，我做了多次迭代，直到时间T = 0.1，并使用max-norm计算误差（解析解是已知的）。

这给了我一系列全局误差，从理论上应该是O（dt）+ O（dx ^ 2）的形式。

现在，我想确认我们有O（dt）。

我该怎么做？

Answer 1

使用dt / 2重新启动相同的代码，并看到错误减半。

Answer 2

我认为Alexandre C.的建议可能需要一点改进（没有双关语意），因为全局误差估计取决于Δt和Δx。

因此，如果Δx太粗糙，通过减半精炼Δt可能不会产生预期的减半误差。

然后，更好的测试可能是通过减半来同时减小Δt和减半。然后全局误差估计使我们预期误差会减少四分之一。

通常情况下，将全局误差和“比例”绘制为对数 - 对数图以估计收敛顺序是很常见的。

有了更多的资源（时间和计算机运行），独立地改变时间和空间离散化将允许双参数拟合（相同类型的对数 - 对数模型）。

Answer 3

我很擅长物理，但这样的简单问题，即使我能做到。

那么，你有什么问题？

计算收敛率：

1. 如果您将系列定义为（Sum[a[n], {n, 1, Infinity}]），那么您需要找到位置，系列会聚（L=Limit[a[n], n -> Infinity]）。
2. 现在您可以找到汇合率（μ = Limit[(a[n + 1] - L)/(a[n] - L), n -> Infinity]）

用分析解决方案找出组合的不确定性

使用等式： （Uc = Sqrt[(D[a, t] Δt)^2 + (D[a, x] Δx)^2]）