寻找一个大型正半定矩阵* C *，其项会产生奇异矩阵* L *

Question

我的目标简而言之：

给出一个8x8矩阵 C 我有一种算法，该算法以物理相关的方式构造另一个8x8矩阵 L = L（C），其中 L 由最多8个 C 条目的特定（可能是非理性的）线性组合给出。我想找到 C 的一个特殊选择，该选择为正半定并且排名较大（7或8），但会产生一个奇异的 L 。

事实：

• 对于每个 U （其中 U * ，每个正半定数 C 都可以写为 C = U * U >表示 U 的复共轭转置。
• 在这种情况下， ker U = ker C ，因此 U 和 C 的等级相同。
• 如果 U 具有非奇异的7x7原理子矩阵，则 U 的等级至少为7。

天真的解决方案：

1. 将 U 声明为符号的8x8矩阵，并创建 C = U * U 。这样可以保证 C 是正半定的。
2. 将 V 定义为 U 的左上7x7原理子矩阵。请注意，如果 V 不是单数，则 C 的等级至少为7。
3. 从 C 计算 L 。
4. 尝试 solve（[det（V）〜= 0，det（L）== 0]，[vars]），其中vars = U 项。

难度：

一个直接的问题是，并非排名7或8的 U 的每个选择都具有非奇异的 V ，因此矩阵 C I在这种体制下寻找人可能会错过。在这里忽略这个问题，我在这个论坛上的问题更多是问题的复杂性：

通过设置 C = U * U 并将 U 的条目用作变量， C 的每个条目的总和为8项，每个学位2。例如，c21条目由

给出

u11*conj(u12) + u21*conj(u22) + u31*conj(u32) + u41*conj(u42) + u51*conj(u52) + u61*conj(u62) + u71*conj(u72) + u81*conj(u82)

由于 L 的每个条目都是 C 的2到8个条目之间的线性组合，因此我们有 L 的每个条目都是 U （或 U * ）条目中2 * 8 = 16到8 * 8 = 64度2项之间的线性组合。因此，在简化之前， det（L）是一个均匀度2 * 8 = 16多项式，在8！* 16 ^8≈10^ 14和8！* 64 ^8≈10^ 19之间。我需要这个多项式为零，同时 det（V）为非零（具有7！= 5040个项的统一次数7多项式）。

请注意，如果要避免使用 C = U * U ，而是将 C 的条目作为变量，则 det（L）<在简化之前，/ em>将是具有8！* 2 ^8≈10^ 7和8！* 8 ^8≈10^ 11项之间的统一次数8多项式。我需要这个多项式为零，同时 det（V）为非零，并放置一些额外条件，以使 C 为正半定号（Sylvester的准则，等）。 / p>

我的问题：

是否有更聪明的方法来做到这一点？当然，行列式不是确定 L 是否为奇数的最有效方法，但理想情况下，我想为 C 提供一个确切的答案，而不是数值近似。

我最熟悉Matlab，但是非常感谢使用任何系统（Python，Macaulay2等）的任何建议。为了提高计算能力，我可以访问几个超级计算机集群。

编辑：

也许是一个崇高的问题。更易消化的子问题：

• 是否存在一种用于确定矩阵是否为奇数（与计算行列式相反）的计算上更容易的理想符号算法？

• 是否存在一种更简便的计算方法，要求答案为正半定值（与设置 C = U * U 相对，并使用 U 的条目作为变量）？

• 是否有较少的限制（但在计算上仍然很容易）的方式要求 C 的排名为7或8？