Question

我目前正在尝试在Haskell中实施Atkin筛分法

在Wikipedia article on the Sieve of Atkin的第3步中，我需要找到多个方程的整数解。

但是我对这些方程中的第一个方程的解（4x²+y²= n，x> 0，y> 0 n是正整数列表中的一个条目），对任何n的查询都会产生无限循环。

这是我到目前为止针对此问题的代码：

eq1 :: Integer -> Integer
eq1 n = eq1_ n []
eq1_ :: Integer -> [(Integer, Integer)] -> Integer
eq1_ n list     | (x > 0) && (y > 0) && (n == 4*(x^2) + (y^2)) && (notElem ((x,y)) list) = eq1_ n ([(x, y)] ++ list)
                | otherwise = toInteger (length list)
                where
                    x = floor (sqrt (fromIntegral ((n - y^2) `div` 4)))
                    y = floor (sqrt (fromIntegral (n - 4*(x^2))))

WinGHCi可以很好地加载它，但是当我查询例如eq1 0仅停留在无限循环中，必须在产生答案之前中断。我怀疑它会在x和y的两个分配之间循环。

如何防止这种情况？这有可能吗？

编辑：意识到无限循环必须在哪里。

Answer 1

我将首先将您的代码重新格式化以使其更具可读性。换行符很有帮助！同样，操作顺序可以减少括号的权重。旁注：

f x | e1 && e2 && e3 = e4

也可以写

f x | e1
    , e2
    , e3
    = e4

在眼睛上可能更容易。

eq1 :: Integer -> Integer
eq1 n = eq1_ n []

eq1_ :: Integer -> [(Integer, Integer)] -> Integer
eq1_ n list
  | x > 0 &&
    y > 0 &&
    n == 4*x^2 + y^2 &&
    notElem (x,y) list
  = eq1_ n ([(x, y)] ++ list)
  | otherwise
  = toInteger (length list)
  where
    isqrt = floor . sqrt . fromIntegral
    x = isqrt $ (n - y^2) `div` 4
    y = isqrt $ n - 4*(x^2)

现在，我可以立即看到逻辑很奇怪。给定n，您就可以计算出x和y。然后，您可以停止或递归调用该函数。但是，在递归调用上，您一定会停止！因此，即使您是对的，您也肯定会遇到语义问题，总是返回0或1。

但是，正如您所看到的，这不是唯一的问题。您还根据x定义了y，并根据y定义了x。现在，在某些重要情况下，这种相互递归很有用。但是，当相互递归的值是“原子”之类的整数时，您肯定会遇到无限循环。 Haskell不会为您解决方程式；那是你的工作！

这是我的建议：

从暴力列表理解解决方案开始：

sols n
  = [(x,y)
    |x <- takeWhile (\p -> 4 * p^2 < n) [1..]
    ,y <- takeWhile (\q -> f x y <= n) [1..]
    ,f x y = n]
  where
    f x y = 4*x^2+y^2

接下来，您可以使用近似整数平方根来缩小y的搜索空间：

sols n
  = [(x,y)
    |x <- takeWhile (\p -> 4 * p^2 < n) [1..]
    ,y <- takeWhile
            (\q -> f x y <= n)
          [floor(sqrt(fromIntegral(n-4*x^2)))..]
    ,f x y = n]
  where
    f x y = 4*x^2+y^2

Haskell：如何找到方程式的整数解数，以用于Atkin筛分法？

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