当x，y，z> 0时如何证明（x + y）/ z +（y + z）/ x +（x + z）/ y> = 6

Question

这个问题实际上有两个部分。在第一部分中，我必须证明a + 1/a >=2。我通过将其重新排列为(a-1)^2 >= 0来证明这一点，这始终是正确的。

所以，我认为第二个问题将需要类似的方法。

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y >=6, where x,y,z>0

但是我不知道。 我已经尝试过简化它，并将其作为思想的考虑因素，但我一无所获。

Answer 1

一旦您知道a + 1/a >= 2，第二部分就很容易了。定义：

a := x/z,  b := y/z,  c := y/x

现在

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y = x/z + y/z + y/x + z/x + x/y + z/y
                            = a + b + c + 1/a + 1/c + 1/b
                           >= 2 + 2 + 2
                            = 6