给定高度，最大多少个AVL树？

Question

我很难找到一个递归公式来查找高度为h的最大高度AVL树的数量。高度0有1，高度1有2，高度2有4，高度3有8，等等，对吗？

Answer 1

高度为n的AVL树中的节点h的最大数量为n = 2^0 + 2^1 + ... + 2^(h-1) = 2^h - 1（除根节点之外的每个节点都有两个子节点，这意味着每个级别的节点数比前一个节点多两倍）一）。这样就得出了高度h的高度公式，以节点n的形式为：h = log(n + 1)。

Answer 2

让我们从另一个角度来看这个问题。

代替给定节点数的最大高度，让我们找到给定高度的最小节点数。对于此问题，我们具有此递归函数：n(h) = n(h-1) + n(h-2) + 1，因为您在右子树中至少需要n(h-1)个节点，在左子树中至少需要n(h-2)个节点，而根需要一个节点。

（图片和更完整的说明here）。

考虑到这一点，您必须找到一个h，使得n(h) < n < n(h+1)，其中n是给定的节点数。

简短的回答是h < 2log(n) + 2