解决带有一些约束的极小极大路径问题

Question

我有一个问题，其中给出了具有正权重的无向图。有N个顶点，我需要获得从顶点1到N的所有可能路径的路径中2个顶点之间最大权重的最小值。但是这些可能路径的总权重不能超过T。

我意识到这是一个最小最大路径问题，因此我可以从图中构造一个最小生成树，然后从那里可以获取路径的最小最大权重。但是，如何构造最小生成树并约束从1到N的总权重不能超过T？

例如。在图片中，如果T为13，则只有1256和1356是可能的路径。未考虑路径1456，因为总权重总计为14。

在1256和1356之间，权重7的边35是路径的最小最大权重。

Answer 1

假设正边权重，则可以通过对m个边中的哪一个是最小最大值进行二元搜索来在O（（m + n log n）log m）时间内解决此问题。二进制搜索需要O（log m）次迭代，使用Dijkstra的算法每次都需要O（m + n log n）次迭代，才能在图上找到最短路径，且所有边的权重均不超过最大值，从而测试是否存在从1到N的距离足够短。