扩展欧几里得算法的位复杂度是多少？

Question

使用Euclids扩展算法计算两个n位值x和y的最大公约数时所涉及的位复杂度是多少，即n的复杂度

在最坏的情况下，对于不同的位大小，我在使用标准扩展Euclid算法计算GCD时观察到以下模式。

就两个值x和y的大小而言，复杂度接近于值：

Source

如何得出理论上的位复杂度来验证我的观察结果？

Answer 1

我希望您能适应高峰，因为您正在寻找最坏情况下的复杂性。

反正...

如果 a 和 b 长为 N 位，则在最坏的情况下（斐波纳契对），扩展的欧几里得算法将花费< strong> O（N）次迭代。

让 f（N）为一次迭代的成本。当然， f（N）将至少是线性的，但仍是多项式，并且在每种情况下，几乎一半的迭代将包含至少 N / 2 位长的参数，因此总复杂度将为 O（f（N）log N）

现在， f（N）的确切含义将取决于您的库中如何实现大整数操作。除法/余数运算将占主导地位，尽管维基百科说，如果使用牛顿-拉夫森除法，则其复杂度与乘法相同（尽管肯定会有一个常数乘数！）。

在Schönhage–Strassen的限制中，乘法成本 O（N * log N * log log N），希望您的图书馆最终会使用它，所以当数字确实大，在最坏的情况下，扩展的欧几里得算法应采用 O（N * log ^ 2 N * log log N）。