如何在O（n * log（k））中将排序列表合并为单个列表

Question

（我将其作为面试问题，希望在此方面有所帮助。）

您有k个排序列表，总共包含n个不同的数字。
显示如何创建一个包含O(n * log(k))

中的k个列表中所有元素的单个排序列表

Answer 1

想法是使用大小为 k 的min heap。

将所有 k 列表推入堆中（每个列表一个堆条目），并以其最小值（即第一个值）作为键

然后重复执行此操作：

1. 从堆中提取顶部列表（具有最小键）
2. 从该列表中提取最小值并将其推入结果列表
3. 将缩短的列表（如果不为空）推回到堆上，现在以其新的最小值为键

重复此操作，直到将所有值都推入结果列表为止。

初始步骤的时间复杂度为 O（klogk）。

上面的3个步骤将重复 n 次。在每次迭代中，每个的成本为：

1. O（1）
2. O（1）（如果提取是使用指针/索引（不移动列表中的所有值）实现的）
3. O（log k），因为堆大小永远不会大于k

因此得出的复杂度为 O（nlogk）（因为 k < n ，初始步骤并不重要）。

Answer 2

正如问题所指出的，不需要k路合并（或堆）。重复使用的标准2方式合并将以任意顺序合并成对的列表，直到生成单个排序的列表也将具有时间复杂度O（n log（k））。如果问题是询问如何单次合并k个列表，则需要进行k次合并。

考虑k == 32的情况，并且为了简化数学，假设所有列表按顺序合并，以便每个合并遍历合并所有n个元素。第一次通过后，有k / 2个列表，第二次通过后，有k / 4个列表，在log2（k）= 5个通过之后，所有k（32）个列表都合并为一个排序列表。除了简化数学之外，列表的合并顺序也没有关系，时间复杂度保持为O（n log2（k））。

仅当使用外部设备（例如一个或多个磁盘驱动器（或经典用法的磁带驱动器））合并数据时，使用k向合并通常是有利的，其中外部设备的I / O时间足够长，因此堆开销可能很大。忽略了。对于基于ram的合并/合并排序，对于2向合并/合并排序或k向合并/合并排序，操作总数大致相同。在具有16个寄存器的处理器上，其中大多数都用作索引或指针，优化的（无堆）4路合并（使用8个寄存器作为指向每次运行的当前位置和结束位置的索引或指针）可以快一点比2路合并的原因在于对缓存更友好。

Answer 3

在N=2时，通过迭代弹出最小的列表前面来合并两个列表。在某种程度上，您将创建一个虚拟列表，该列表支持通过以下方式实现的pop_front操作：

pop_front(a, b): return if front(a) <= front(b) then pop_front(a) else pop_front(b)

您可以很好地安排类似树的合并方案，其中将这些虚拟列表成对合并：

pop_front(a, b, c, d): return if front(a, b) <= front(c, d) then pop_front(a, b) else pop_front(c, d)

每个流行音乐都会涉及到树中的每个级别一次，导致每次流行音乐花费O(Log k)。

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上面的推理是错误的，因为它不考虑front操作，它涉及两个元素之间的比较，这将级联并最终每个输出元素总共需要k-1比较。

可以通过“记住”前元素来避开此问题，即在进行比较后将其保留在两个列表的旁边。然后，当弹出一个元素时，将更新此前端元素。

这直接导致了二进制最小堆设备，如@trincot所建议。

    5 7 32 21
  5
    6 4 8 23 40
2
    7 7 20 53
  2
    2 4 6 8 10