如何计算相关高斯变量总和的参数？

Question

对于独立案例而言，这是微不足道的。

根据Wiki，如果它们相互关联，则Z的协方差为

平方根中的最后一项实际上是X和Y的协方差，即cov（X，Y）。我只是不知道如何计算这个术语。你有什么想法吗？

Answer 1

计算ρ实际上涉及计算Cov（X，Y），因此您的最后一个方程在数学上是正确的，但无济于事。让我们直接去估计协方差。

接下来，我假设您熟悉并比较熟悉均值，方差和协方差的定义，并了解参数与其估计量之间的差异。

首先，请记住：

  

σ _x ² = E [（X-μ _x ） ² ] = E [X < sup> 2 ]-E [X] ² 。

类似地：

  

Cov（X，Y）= E [（X-μ _X ）（Y-μ _Y ）] = E [XY]-E [X] E [Y]。

实际上，请注意，这意味着方差只是协方差的一种特殊情况，即Var（X）= Cov（X，X）！

继续估算。基本上，通过对与以上最右边等式中的项相对应的数据求平均，来找到方差的最大似然估计器。方差估计量为：

  

s _x ² =（Sum（x _i ² ）-n *（x_bar ² ））/ n

其中，n是样本大小，x_bar是x样本的平均值。 （如果您更喜欢无偏估计量而不是MLE，则除以（n-1）而不是n。）鉴于上面指出的方差和协方差之间的关系，发现协方差的MLE估计量为：< / p>

  

c =（Sum（x _i * y _i ）-n * x_bar * y_bar）/ n

这将我们引向您的目标：

  

s _{x + y} ² = s _x ² + s _y ² + 2 * c，

然后从这里开始取平方根即可得到标准偏差。

使用伪代码：

function std_dev_sum(x_vector, y_vector):
  n = x_vector.length
  fail "different size vectors" unless y_vector.length == n   
  sum_x = sum_y = sum_x_sqr = sum_y_sqr = sum_xy = 0.0
  for each index i:
    x = x_vector[i]
    y = y_vector[i]
    sum_x += x
    sum_y += y
    sum_x_sqr += x * x
    sum_y_sqr += y * y
    sum_xy += x * y
  x_bar = sum_x / n
  y_bar = sum_y / n
  var_x = sum_x_sqr / n - x_bar * x_bar
  var_y = sum_y_sqr / n - y_bar * y_bar
  cov = sum_xy / n - x_bar * y_bar
  return Sqrt(var_x + var_y + 2.0 * cov)