Question

我是一位经验丰富的 Matlab 程序员，但我不知道如何解决这个（看似）简单的问题。我有一个由5个方程式和5个未知数组成的系统：

当不涉及代数方程时，我知道如何使用ode45求解ODE。在上面的系统中， V （速度）和 C （加速度）都是恒定的并且是已知的。 C是航天器的横向加速度

此问题应按以下方式解决：

在t = 0时，我们知道Theta（0），x（0）和y（0）。请记住，V和C都是常数并且是已知的。
给定Theta（0）和C / V，我们得到Theta（t1），它集成了第四个方程。有了这个新的Theta值，我们应该能够计算出新的Vx（t1）和Vy（t1），这将为我们提供x（t1）和y（t2）的新值。
重复

使用Matlab的ODE45解决问题非常重要，因为当我添加风，改变重力和密度，航天器的质量和几何形状（以及惯性等！）时，最终将很难解决。因此，我将得到一个包含数十个方程组的系统，所有这些方程组都将耦合在一起。如果我知道如何在Matlab中解决这个简单的问题，我将了解将来如何解决更复杂的问题。

我已经在互联网上寻找一些帮助，但这是徒劳的。非常感谢您的帮助。

Answer 1

使用校正后的系统，您只有3个状态变量要积分

function dotu = f(t,u)
    theta = y(1); 
    dotu = [ C/V, -V*cos(theta), V*sin(theta) ];
end

您可以直接将其插入到求解器中

[ T,U ] = ode45(f, [t0, tf], [ theta0, x0, y0])

使用适合初始条件和积分结束的值。

Answer 2

在我看来，您的系统的不确定性在于y_1除了必须为正数外，不受其他方程式的约束。至于系统的其余部分，它实际上是分离的。这是我的处理方式：

1）第一个等式暗示y_1为正。考虑到这一点，如果在第一个方程式中替换y_2和y_3，则将获得恒等式y_1 = y_1。因此，该点y_1可以是时间的任何函数，仅受在t = 0时满足初始条件的约束。在下文中，我将假定它是时间常数。

2）根据该规定，C / y_1是一个任意常数，我们称其为B，由此得出y_4 = Bt + y0_4，y0_4是积分常数。

3）将y_2代入第5个方程，将y_3代入第6个方程。现在您有两个ODE，它们的时间依赖于r.h.s.这些方程非常简单，可以解析地求解。例如，最后一个等式给出y_6 = -y_1 / B cos（Bt + y0_4）+ y0_6。

更一般地说，假设您遇到的问题没有受到太多限制。然后，您总是可以及时微分代数方程组，并获得耦合的ODE系统。

作为最后的评论，我想说，在着急使用Matlab（或Python，R或C ++ ...）之前，用纸和铅笔研究该问题是否总是一件好事。可以简化，或者像上面一样，可以解决。