如何生成零均值高斯随机向量，该向量具有特征值呈指数分布的相关矩阵

Question

1。这是论文“基于幂方法的快速广义特征向量跟踪”中的一个问题。

2。作者写道：“我们生成两个零均值高斯随机矢量，它们的特征值呈指数分布呈指数分布，具有相关矩阵A和B。

3。但是如何生成零均值高斯随机向量，该向量具有特征值呈指数分布的相关矩阵，这几乎使我感到困惑。

4。似乎我们只能在MATLAB中使用 randn 来生成随机向量， 那么问题是如何确保特征值同时同时指数分布的关联矩阵？

Answer 1

令S是一个正定矩阵。因此，S具有Cholesky分解L.L'= S，其中L是下三角矩阵，'表示矩阵转置，.表示矩阵乘法。令x从均值为零且协方差等于单位矩阵的高斯分布中得出。则y = L.x具有高斯分布，均值为零，协方差为S。

因此，如果您可以找到合适的协方差矩阵A和B，则可以使用它们的Cholesky分解来生成样本。现在关于构造一个矩阵，该矩阵具有遵循给定分布的特征值。我的建议是从指数分布的样本列表开始。这些将是您的特征值。设E =矩阵，对角线上有指数样本，否则为零。令U为任何unit矩阵（即列是正交的且每列的范数为1）。那么U'E.U'是具有指定特征值的正定矩阵。

U可以是任何unit矩阵。特别地，U可以是单位矩阵。这可能会使其他一切变得简单。您必须验证U =身份对于您正在解决的问题是否可行。