Question

我试图证明以下关于自然数的简单定理：

((i + j) = (i + k)) -> (j = k)

这是我在Coq中所拥有的：

Theorem cancel : forall (i j k : nat),
  ((add i j) = (add i k)) -> (j = k).
Proof.
intros i j k.
induction i.
simpl.
apply A_IMPLIES_A.
simpl.

然后是子目标：

S (add i j) = S (add i k) -> j = k

所以我想我应该使用eq_add_S，其中指出S m = S n -> m = n。但是，当我尝试使用apply eq_add_S这样做时，出现以下错误：

Error:
In environment
i, j, k : nat
IHi : add i j = add i k -> j = k
Unable to unify "k" with "add i k".

所以我想我无法理解我想要的是m = (add i j)和n = (add i k)。 Coq为何无法读懂我的想法？或更严重的是，我该如何帮助他呢？谢谢！

Answer 1

问题不是Coq不能猜测m和n使用什么值，而是您的目标没有合适的形状来实例化该定理。当您编写apply eq_add_S时，Coq会尝试将S n = S m -> n = m与S (add i j) = S (add i k) -> j = k统一，这是无法完成的。

您需要的是通过将eq_add_S引入目标的前提中。

Proof.
intros i j k H. (* H : add i j = add i k *)
induction i as [|i IH].
- apply H.
- apply eq_add_S in H.
  (* ...  *)

Answer 2

我将解决方案作为单独的答案发布，希望其他用户可以从中受益。在这里：

std::fs::File