Coq中自然数的后继者的内射性

Question

我有点困惑，在Coq中定义为自然数的后继函数的内射性是否是公理？根据Wikipedia/Peano axioms，它是公理（7 ）。当我查看Coq.Init.Peano手册页时，会看到以下内容：

  

定义eq_add_S n m（H：S n = S m）：n = m：= f_equal pred H。

     

提示立即eq_add_S：核心。

它看起来像一个公理（？），但令我感到困惑的是该页面顶部的内容：

  

它陈述了有关自然数的各种引理和定理，包括Peano的算术公理（在Coq中，这些都是可证明的）

这句话有点模棱两可吗？

Answer 1

您看到的命令实际上是S构造函数的整体性的证明。更确切地说，它说后继功能之所以具有内射性，是因为它具有相反的功能：前任功能（pred）。 （在Coq中，公理通常以关键字Axiom引入。）

您似乎对“公理”一词的两种相关含义感到困惑。逻辑的广义意义是“推理的起点”（Wikipedia）。狭义的含义是在没有进一步证明的情况下在演绎系统中理所当然的断言。在Peano arithmetic中，Peano的公理在单词的两种意义上都是公理，因为它们是原始的。在Coq，ZFC集理论和其他系统中，可以从更多基本事实中证明它们。