Question

我和Coq一起研究我定义的两种类型之间的关系。第一个类似于/*的有限子集，只有三个元素：

nat

第二种是sigma类型，其元素满足命题Inductive N3 := zero | one | two.。这是它的定义：

{x: nat | x < 3}

我想证明这两种类型是同构的。我用以下方式确定了涉及的两个功能：

Definition less_than_3 := {x| x < 3}.

l_2_3

我成功定义了同构的第一部分

Axiom l_0_3 : 0 < 3.
Axiom l_1_3 : 1 < 3.
Axiom l_2_3 : 2 < 3.

但我无法定义另一方。这是我到目前为止所做的：

Definition eq_n3_n3 (n: N3) : lt3_to_N3 (N3_to_lt3 n) = n.
Proof.
by case n.
Defined.

我完全不确定其余的定义。我还试图在Definition eq_lt3_lt3 (x: less_than_3) : eq x (N3_to_lt3 (lt3_to_N3 x)). Proof. case: x. move=> n p. simpl. ???和x上进行模式匹配，但我不确定要返回什么。

(N3_to_lt3 (lt3_to_N3 x))

感谢您的帮助。

Answer 1

如果你从math-comp中的finType机器中获利，你也会有一些乐趣。

例如，您可以使用序数的枚举[与您的类型同构]来枚举所有值而不是做繁琐的案例来证明您的引理：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Lemma falseP T : false -> T.
Proof. by []. Qed.

Inductive N3 := zero | one | two.

Definition lt3_to_N3 (n: 'I_3) : N3 :=
  match n with
  | Ordinal 0 _ => zero
  | Ordinal 1 _ => one
  | Ordinal 2 _ => two
  | Ordinal _ f => falseP _ f
  end.

Definition N3_to_lt3 (n: N3) : 'I_3 :=
  match n with
  | zero => @Ordinal 3 0 erefl
  | one  => @Ordinal 3 1 erefl
  | two  => @Ordinal 3 2 erefl
  end.

Lemma eq_lt3_lt3 : cancel lt3_to_N3 N3_to_lt3.
Proof.
apply/eqfunP; rewrite /FiniteQuant.quant0b /= /pred0b cardE /enum_mem.
by rewrite unlock /= /ord_enum /= !insubT.
Qed.

(* We can define an auxiliary lemma to make our proofs cleaner *)
Lemma all_by_enum (T : finType) (P : pred T) :
  [forall x, P x] = all P (enum T).
Proof.
apply/pred0P/allP => /= H x; first by have/negbFE := H x.
suff Hx : x \in enum T by exact/negbF/H.
by rewrite mem_enum.
Qed.

Lemma eq_lt3_lt3' : cancel lt3_to_N3 N3_to_lt3.
Proof.
by apply/eqfunP; rewrite all_by_enum enumT unlock /= /ord_enum /= !insubT.
Qed.

正如你所看到的，math-comp的当前设计并不是非常适合做这项工作，但是对于更多地了解库来说很有趣。

另一个有趣的练习是为您的自定义数据类型定义finType实例，然后确定两个集合具有相同的基数！这里有很多引理组合，所以你会玩得很开心！

Answer 2

由于您使用的是ssreflect，最简单的方法是使用<的计算定义（在ssrnat中），然后应用val_inj引理：

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype ssrnat.

Inductive N3 := zero | one | two.

Definition less_than_3 := {x| x < 3}.

Definition lt3_to_N3 (n: less_than_3) : N3 :=
match n with
  | exist 0 _ => zero
  | exist 1 _ => one
  | exist 2 _ => two
  | exist _ _ => two
end.

Definition N3_to_lt3 (n: N3) : less_than_3 :=
match n with
  | zero => exist _ 0 erefl
  | one => exist _ 1 erefl
  | two => exist _ 2 erefl
end.

Lemma eq_lt3_lt3 (x: less_than_3) : eq x (N3_to_lt3 (lt3_to_N3 x)).
Proof.
by apply: val_inj; case: x => [[| [|[|x]]] Px].
Qed.

val_inj的陈述有点复杂，但基本思路很简单：对于类型P上的任何布尔谓词T，规范投影{ x : T | P x = true } -> T是射。正如Vinz所说的那样，这依赖于布尔等式证明不相关;也就是说，布尔值之间平等的任何两个证明本身是平等的。因此，{x | P x = true}上的平等完全由元素x决定;证明成分是无关紧要的。

Answer 3

我会从像

这样的东西开始

Definition eq_lt3_lt3 (x: lt3) : eq x (N3_to_lt3 (lt3_to_N3 x)).
Proof.
destruct x as [ n h ].
destruct n as [ | [ | [ | p ]]]; simpl in *.

此时您将拥有以下目标：

exist (fun x : nat => x < 3) 0 h = exist (fun x : nat => x < 3) 0 l_0_3

基本上现在唯一的区别是你有一些证明0＆lt; 3名为h＆＃34;在左侧和＆＃34;您的确切证据0＆lt; 3名为l_0_3＆＃34;在右边。

因此，您必须朝着证明身份证明无关/唯一性的方向（这可以通过nat＆amp; lt证明）。

建立有限自然数和西格玛之间的同构

3 个答案: