如果启发式函数h是单调的，为什么在A-star算法中减去h（x）？

Question

也许我遗漏了一些非常简单明显的东西。

但是，如果试探函数h是单调的（一致的），我不明白为什么从总估算成本中减去源顶点的估算成本：

单音功能：f(x) = g(x) + h(x) 非单调函数：d'(x, y) = d(x, y) + h(y) − h(x)

UPD ：

我很困惑，完全误解了单调/非单调启发法。 @david-aisenstat's answer帮助我更正了以下问题：

A *算法可以用作Dijkstra算法的扩展。在其主循环的每次迭代中，它选择估计成本加上该顶点的路径成本最小的顶点：

对于顶点u及其后继v，使用某些启发式函数f(u, v) = d(u, v) + h(v)，根据公式h计算总成本。其中：

从d(u,v)到u的路径的
• v成本
• h(v)估算从v到目标顶点t的成本

如果对于任何相邻的顶点u和v，则h(u) <= d(u, v) + h(v)确实是h是单调的。换句话说，图拥有triangle inequality属性。

它在A* algorithm的Wiki页面中声明：

  

如果启发式h满足图的每个边（x，y）的附加条件h（x）≤d（x，y）+ h（y）（其中d表示该边的长度），则h称为单调或一致。在这种情况下，可以更高效地实现A *-粗略地说，无需处理一次以上的节点（请参见下面的封闭集），并且A *等效于以降低的成本d'（x，运行Dijkstra算法） y）= d（x，y）+ h（y）− h（x）。

我的问题是：

  

和A *等效于以降低的成本d'（x，y）= d（x，y）+ h（y）-h（x）运行Dijkstra算法。

有任何等价证据吗？

很明显0 <= d(x, y) + h(y) - h(x)是可行的。但是：

• 为什么选择此公式作为新的距离函数？
• 是否有任何正式的证据证明它可行？
• 为什么用d'（x，y）= d（x，y）+ h（y）来运行Dijkstra是不够的？
• 其背后的数学原理是什么？

Answer 1

标记为“非单调”的条件实际上是单调的条件。 “单调”下的方程式是如何推导新的距离函数d'的过程，该函数将一致的启发式h合并到d中。然后，您可以在d'上运行Dijkstra，除非通过h的值，否则它不会查看d'。

维基百科中A *的伪代码省略了减法，因为它涉及一般可允许的启发式情况，该情况将f(n) = g(n) + h(n)用作通过路径使用节点n的解决方案成本的下限费用为g(n)。