Question

首先，我知道these threads存在！因此，请允许我，他们的问题还没有完全回答我。

作为一个例子，假设我们在一个4维向量空间中，即R^4。我们正在看两个线性方程：

3*x1 - 2* x2 + 7*x3 - 2*x4 = 6
1*x1 + 3* x2 - 2*x3 + 5*x4 = -2

实际的问题是：是否有一种方法可以利用NumPy等的线性求解器来生成一定数量的N点来解决这些问题的两个问题？

到目前为止，我尝试过的所有python库的主要问题是：它们需要n维空间的n方程

对于一个方程式来说，解决问题非常容易，因为您可以简单地使用n-1随机生成的vlaues并修改最后一个变量，以使向量可以求解方程式。

我的预期结果将是N个“随机”生成的点的列表，这些点可以在k维空间（其中n）中解决k<n个线性方程。 >

Answer 1

一个线性方程组，其变量多于方程组，称为underdetermined system。

一个不确定的线性系统要么没有解，要么有很多解。

...

存在一些算法来确定欠定系统是否具有解，如果有解，则将所有解表示为变量k的线性函数（与上述k相同）。最简单的一种是高斯消去。

您说过，库中可用的许多函数（例如np.linalg.solve）都需要平方矩阵（即n个未知数的n个方程），您正在寻找的是Gaussian elimination for non square linear systems的实现。

这不是“随机”，但是np.linalg.lstsq（最小二乘法）将解决非平方矩阵：

将最小二乘解返回线性矩阵方程。

通过计算最小化欧几里德2-范数||的向量x来解决方程a x = b的问题。 b-a x || ^ 2。该方程式可以是欠定的，良好确定的或过度确定的（即a的线性独立行的数量可以小于，等于或大于其线性独立列的数量）。如果a是正方形且具有全秩，则x（但针对四舍五入误差）是方程的“精确”解。

有关更多信息，请参见： solving Ax =b for a non-square matrix A using python

Answer 2

由于您有一个未定方程组（对您的解决方案约束太少，或者方程组少于变量），您可以为x3和x4选择一些任意值并在x1中求解系统， x2（有2个变量/ 2个方程式）。

您只需要检查生成的系统不是不一致（即，它不接受任何解决方案），并且没有重复的解决方案。

例如，您可以修复x3 = 0并选择x4的随机值来生成x1，x2中方程的解

下面是生成10个“随机”解决方案的示例

n = 10
x3 = 0
X = []
for x4 in np.random.choice(1000, n):
  b = np.array([[6-7*x3+2*x4],[-2+2*x3-5*x4]])
  x = np.linalg.solve(a, b)
  X.append(np.append(x,[x3,x4]))

# check solution nr. 3
[x1, x2, x3, x4] = X[3]
3*x1 - 2* x2 + 7*x3 - 2*x4
# output:  6.0
1*x1 + 3* x2 - 2*x3 + 5*x4
# output: -2.0

Answer 3

感谢您的回答，这对我有帮助，也为我指明了正确的方向。

对于任意k<n，我现在都有一个简单的逐步解决方案。

1。。找到所有给定方程式的一个解决方案。这可以通过使用

来完成

 solution_vec = numpy.linalg.lstsq(A,b)

这提供了一种ukemis answer中所见的解决方案。在上面的示例中，矩阵A等于左侧方程的系数，b代表右侧的向量。

2。。确定矩阵A的空空间。

这些都是向量v，因此v*A_i = 0的每一行（！）行的斯卡拉积A_i。在in this thread中找到的以下函数可用于获取A的空空间的代表：

3。。生成与def nullSpaceOfMatrix(A, eps=1e-15): u, s, vh = scipy.linalg.svd(A) null_mask = (s <= eps) null_space = scipy.compress(null_mask, vh, axis=0) return scipy.transpose(null_space)一样多的（N）“随机”线性组合（意味着具有随机系数）以及矩阵空空间的所得矢量想！之所以可行，是因为标量积是可加的，并且零空间向量与方程式的向量的标量积为0。这些线性组合必须始终包含solution_vec，例如：

solution_vec

其中linear_combination = solution_vec + a*null_spacevec_1 + b*nullspacevec_2...和a可以随机选择。

有没有一种方法可以生成非平方线性方程的随机解，最好在python中生成？

3 个答案: