Question

我正在用PHP创建一个CAS（计算机代数系统），但我现在卡住了。我正在使用this website。

现在我写了一个tokenizer。它将转换如下的等式：

1+2x-3*(4-5*(3x))

到此：

NUMBER PLUS_OPERATOR NUMBER VAR[X] MINUS_OPERATOR NUMBER MULTIPLY_OPERATOR GROUP

（其中group是另一组令牌）。我该如何简化这个等式？是的，我知道你能做什么：添加X-vars，但它们在子组中。我可以用来处理这些令牌的最佳方法是什么？

Answer 1

真正有用的下一步是构建一个解析树：

enter image description here

您可以通过编写中缀解析器来制作其中一个。你可以通过编写一个简单的递归下降解析器，或引入大枪和using a parser generator来做到这一点。在任何一种情况下，它都有助于构建一个正式的语法：

expression: additive

additive: multiplicative ([+-] multiplicative)*

multiplicative: primary ('*' primary)*

primary: variable
       | number
       | '(' expression ')'

请注意，此语法不处理2x语法，但应该很容易添加。

请注意在语法规则中巧妙使用递归。 primary仅捕获变量，数字和带括号的表达式，并在运行到运算符时停止。 multiplicative解析由primary个符号分隔的一个或多个*个词组，但在遇到+或-个符号时停止。 additive解析由multiplicative和+分隔的一个或多个-个词组，但在遇到)时停止。因此，递归方案确定运算符优先级。

手动实施predictive parser并不是非常困难，正如我在下面所做的那样（see full example at ideone.com）：

function parse()
{
    global $tokens;
    reset($tokens);
    $ret = parseExpression();
    if (current($tokens) !== FALSE)
        die("Stray token at end of expression\n");
    return $ret;
}

function popToken()
{
    global $tokens;
    $ret = current($tokens);
    if ($ret !== FALSE)
        next($tokens);
    return $ret;
}

function parseExpression()
{
    return parseAdditive();
}

function parseAdditive()
{
    global $tokens;

    $expr = parseMultiplicative();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            ($next->op == "+" || $next->op == "-"))
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parseMultiplicative();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parseMultiplicative()
{
    global $tokens;

    $expr = parsePrimary();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            $next->op == "*")
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parsePrimary();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parsePrimary()
{
    $tok = popToken();
    if ($tok === FALSE)
        die("Unexpected end of token list\n");
    if ($tok->type == "variable")
        return mkVariableExpr($tok->name);
    if ($tok->type == "number")
        return mkNumberExpr($tok->value);
    if ($tok->type == "operator" && $tok->op == "(") {
        $ret = parseExpression();
        $tok = popToken();
        if ($tok->type == "operator" && $tok->op == ")")
            return $ret;
        else
            die("Missing end parenthesis\n");
    }

    die("Unexpected $tok->type token\n");
}

好的，现在你有了这个可爱的解析树，甚至还有漂亮的图片。怎么办？您的目标（目前）可能只是简单地组合术语以获得表单的结果：

n1*a + n2*b + n3*c + n4*d + ...

我会把那部分留给你。使用解析树应该会使事情变得更加直接。

Answer 2

PHP擅长字符串，数字和数组。但它实现符号公式操作是一种糟糕的语言，因为它没有处理“符号表达式”的原生机制，你真正想要树。是的，你可以实现所有这些机器。更难的是进行代数操作。如果你想要构建一些半复杂的东西，它需要做很多工作。理想情况下，您希望机器能够帮助您直接轻松地编写转换。

例如，您将如何实现任意代数规则？相关性和交换性？术语“在远处匹配”？，例如

  (3*a+b)-2(a-b)+a ==> 3a-b

您可以查看a simple CAS can be implemented使用DMS program transformation system的方式。 DMS具有内置的交换性和关联性等硬数学结构，您可以明确地编写代数规则来操作符号公式。

Answer 3

这本书 Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods by Joel S. Cohen 描述了一种自动简化代数表达式的算法。

此算法用于C＃的Symbolism计算机代数库。继续你的例子，下面的C＃程序：

var x = new Symbol("x");

(1 + 2 * x - 3 * (4 - 5 * (3 * x)))
    .AlgebraicExpand()
    .Disp();

在控制台显示以下内容：

-11 + 47 * x

构建计算机代数系统

3 个答案: