我可以计算距离严格小于delta的最接近的拆分点对吗

Question

最近的Pair of Points Problem最近吸引了我。更具体地说，是分治法。

此递归算法要求我将一组点分成a和b并计算每个块的最接近点对，然后计算这些块之间最接近的点对并返回这三个数量中的最小值。

计算块之间最接近点的算法仅通过迭代距min(a, b)中最后一个点最多a的最多7个点（整个集合的meadian元素）来工作）。

这两张照片代表了更好的问题。 min(a, b) = Delta。

我了解到，如果我在l和a两边的b线上有2个点，那么我最多需要在中间比较7个点剥离。

我想知道的是，如果我构建的中间条带的点距l的距离小于Delta，我不能仅比较接下来的4点而不是7点，因为我只能拟合l的每一侧有2个点，距离l的Delta小于彼此的Delta？

编辑： 我也开始悬赏cs stackexchange上的一个非常类似的问题，在那里我们进行了非常有趣的讨论。因此，我将其链接为here。我们还开始了非常有见地的聊天here。

Answer 1

注意：该答案已更新，以供将来参考，其依据是与accepted answer的作者@Danilo SouzaMorães和@burnabyRails进行的广泛讨论。 CS网站。原始答案的主要问题是，我假设此处使用/讨论了一些不同的算法。由于原始答案为Danilo提供了一些重要的见解，因此保留了原样。另外，如果您要阅读Danilo在回答中提到的discussion，请务必先阅读此处的介绍，以更好地理解我的意思。添加的序言部分讨论了所讨论算法的不同版本。

简介

此算法基于两个主要思想：

1. 典型的递归分治法
2. 如果您已经知道左右两个区域的最佳距离，就可以在O(N)的时间内完成“组合”步骤，因为您可以证明可以对{{ 1}}时间。

尽管如此，在实践中有几种方法可以实现相同的基本思想，特别是组合步骤。主要区别在于：

1. 您是否独立对待“左”和“右”点并且可能以不同的方式对待？
2. 对于每个点，您都进行固定数量的检查，还是先过滤候选对象，然后仅对过滤后的候选对象进行距离检查？请注意，如果可以确保以摊销的O(1)完成过滤，则可以进行一些过滤而不会浪费O(N*log(N))时间。换句话说，如果您知道优秀候选人的人数上限很强，则不必精确检查该候选人的人数。

CLRS Introduction to Algorithms中算法的经典描述清楚地回答了问题1，因为您混合了“左”点和“右”点并对其进行了共同处理。至于＃2，答案（对我而言）不太清楚，但可能意味着检查一些固定点数。这似乎是Danilo想到的那个版本。

我想到的算法在两点上都是不同的：它遍历“左”点并针对所有过滤的“右”候选点进行检查。显然，在编写答案以及在聊天中进行初步讨论时，我没有意识到这种差异。

“我的”算法

这是我想到的算法的草图。

1. 开始的步骤很常见：我们已经处理了“左”和“右”点，并知道最好的O(1)沙发，并沿轴对它们进行了排序。我们还过滤掉了Y条中不存在的所有点。

2. 外部循环是，我们经过“左”点。现在假设我们处理一个，我们称其为“左点”。此外，我们在必要时半独立地遍历“正确”的点，以移动“起始位置”（请参阅​​步骤2）。

3. 对于每个左点，请从右点的最后一个起始位置上移，然后递增起始位置，直到我们到达±（或更确切地说）与根据{{​​1}}轴的左点。 （注意：“左”点和“右”点之间的分隔使得必须从-开始）

4. 现在从该起始位置继续向上，并计算到Y之前所有点与当前左点的距离。

在步骤＃2和＃3中进行的过滤使它“与数据相关”。在此实现中的权衡是，您进行的距离检查更少，但需要进行更多的-检查。此外，代码的争论也更复杂。

为什么这种组合算法在+中有效？出于同样的原因，在矩形Y中可以容纳多少个点上也有固定的界限（即O(N)），因此，两点之间的距离至少为O(1)。这意味着在步骤＃3中将进行x2个检查。实际上，使用此算法检查的所有距离都将由CLRS版本检查，并且根据数据还可能会检查更多距离。

步骤2的摊销成本也为，因为整个外部循环中步骤2的总成本为O(1)：您显然无法将起始位置进一步提高总共比“正确点”还多。

修改后的CLRS算法

即使在算法的CLRS版本中，您也可以轻松地对＃2做出不同的决定。关键步骤的说明为：

  

  
1. 对于数组O(1)中的每个点O(n)，该算法尝试在p的{​​{1}}单位内的Y′中查找点。正如我们将很快看到的，仅需要考虑Y′之后的δ中的7个点。该算法计算从p到每个p点的距离，并跟踪在Y′的所有点对中找到的最接近对距离p
  

很容易对其进行修改，以不检查7点，而是先检查δ′的差是否小于Y′。显然，您仍然可以保证检查的点数不超过7。再次需要权衡的是，您进行的距离检查较少，但进行了一些Y差异检查。取决于您的数据和硬件上不同操作的相对性能，这可能是一个好选择或一个坏选择。

其他一些重要想法

1. 如果不需要查找所有具有最小距离的对，则可以在过滤时安全地使用 <=`

2. 在具有浮点数表示形式的实际硬件世界中，7的概念尚不清楚。通常，无论如何，您都需要检查类似Y的内容。

3. 我的反例背后的想法（针对另一种算法）：您不必将所有点都放在边缘。侧面为<`` instead of的等边三角形可以拟合为大小为=的正方形（这是表示abs(a - b) < έ的另一种方式）

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原始答案

我认为您没有正确理解该算法中该常数的含义。实际上，您不会检查-έ或<或任何固定数量的点，而是沿着7轴上（或下）并检查落入相应矩形中的点。很容易就有4这样的观点。对于算法在承诺的7时间内起作用而言，真正重要的是，在该步骤检查的点数上有一个固定上限。只要您能证明，任何恒定上限都将起作用。换句话说，重要的是该步骤是Y，而不是特定的常数。 0只是相对容易证明的一个而已。

我相信O(n*log(n))的实际原因是，在实际的硬件上，您无法对浮点数据类型中的距离进行精确的计算，因此一定会产生一些舍入误差。这就是为什么使用O(n)代替7并不实际的原因。

最后，假设您可以可靠地执行7，那么我不认为<是正确的界限。假设<=。假设“左”点为4，因此它的“右” <矩形为 = 1和(-0.0001; 0)。考虑以下5个点（想法是：在拐角处几乎有4个点正好适合矩形<及其之间的距离0 <= x < 1，第5个点位于矩形的中心）：

• -1 < y < 1 = <
• > = P1
• (0.001; 0.999) = P2
• (0.999; 0.93) = P3
• (0.001; -0.999) = P4

请注意，这5个点之间的距离应大于(0.999; -0.93)，其中一些距离“左”点可能小于P5。这就是为什么我们首先检查它们的原因。

距离(0.5; 0)（对称地）是

距离P1-P2（对称地P3-P4）是

sqrt(0.998^2 + 0.069^2) = sqrt(0.996004 + 0.004761) = sqrt(1.000765) > 1

距离P1-P5（对称地P3-P5）是

sqrt(0.499^2 + 0.999^2) = sqrt(0.249001 + 0.998001) = sqrt(1.247002) > 1

因此，您可以将P2-P5个点放在这样的P4-P5矩形中，该矩形明显大于sqrt(0.499^2 + 0.93^2) = sqrt(0.249001 + 0.8649) = sqrt(1.113901) > 1 。