Question

请考虑以下归纳谓词：

inductive terminating where
 "(⋀ s'. s → s' ⟹ terminating s') ⟹ terminating s"

我想证明，如果节点s没有终止，那么将存在形式为s0→s1→s2→...的无限链。

 lemma "¬ terminating (c,s) ⟹ 
       ∃ cfs. (cfs 0 = (c,s) ∧ (∀ n. (cfs n) → (cfs (n+1))))"

如何在伊莎贝尔（Isabelle）中证明这一点？

修改

最终目标是证明以下目标：

lemma "(∀s t. (c, s) ⇒ t = (c', s) ⇒ t) ⟹
       terminating (c, s) = terminating (c', s) "

其中⇒是GCL的重要步骤。也许需要另一种方法来证明该定理。

Answer 1

如果您愿意使用选择运算符，则可以使用SOME轻松构造见证人，例如：

primrec infinite_trace :: ‹'s ⇒ nat ⇒ 's› where 
  ‹infinite_trace c0 0 = c0›
| ‹infinite_trace c0 (Suc n) =
    (SOME c. infinite_trace c0 n → c ∧ ¬ terminating c)›

（我不确定您的s和(c,s)值的类型，因此我只是使用's。）

很明显，如果在SOME某个时刻不能选择满足约束的值，则见证构造将失败。因此，仍然必须证明非终止确实在传播（从定义中很明显）：

lemma terminating_suc:
  assumes ‹¬ terminating c›
  obtains c' where ‹c → c'› ‹¬ terminating c'›
  using assms terminating.intros by blast

lemma nontermination_implies_infinite_trace:
  assumes ‹¬ terminating c0›
  shows  ‹¬ terminating (infinite_trace c0 n) 
    ∧ infinite_trace c0 n → infinite_trace c0 (Suc n)›
  by (induct n,
     (simp, metis (mono_tags, lifting) terminating_suc assms exE_some)+)

使用infinite_trace (c,s)作为见证人来证明您的存在量化很简单。

证明Isabelle中存在无限路径

1 个答案: