Question

这是我尝试证明Takeuchi function确实terminate的地方：

function moore :: "(int ⇒ int ⇒ int) ⇒ (int ⇒ int ⇒ int)" where
"moore x y z = ((if (x ≤ y) then 0  else 1) (max(x,y,z) - min(x,y,z)) (x - min(x,y,z)))"


fun tk :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ int" where
"tk x y z = ( if x ≤ y then y else tk (tk (x-1) y z) (tk (y-1) z x) (tk (z-1) x y) )"

这里有几个问题。首先，我应该在函数moore中返回一个三元组。现在，系统正在报错：

类型统一失败：类型“ int”和“ _⇒_”的冲突

应用程序中的类型错误：操作数类型不兼容

运算符：op≤x ::（int⇒int⇒int）⇒bool操作数：y :: int

然后，终止证明当然不会成功，因为我没有在上面应用终止功能（此方法应类似于here）。

我该如何解决？

Answer 1

首先，您的moore函数当前不返回三元组，而是返回两个int并返回int的函数。对于三元组，您必须编写int × int × int。另外，元组的结构是(x, y, z)，而不是像您一样的x y z。

此外，没有理由使用fun（更不用说function）来定义moore函数了，因为它不是递归的。 definition工作正常。另一方面，对于tk，您将需要使用function，因为没有明显的词典终止方法。

另外，返回三元组的函数在Isabelle中通常很难处理。定义三个单独的功能更有意义。将所有这些放在一起，然后可以像下面这样定义函数：

definition m1 where "m1 = (λ(x,y,z). if x ≤ y then 0 else 1)"
definition m2 where "m2 = (λ(x,y,z). nat (Max {x, y, z} - Min {x, y, z}))"
definition m3 where "m3 = (λ(x,y,z). nat (x - Min {x, y, z}))"

function tk :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ int" where
  "tk x y z = ( if x ≤ y then y else tk (tk (x-1) y z) (tk (y-1) z x) (tk (z-1) x y))"
  by auto

然后您可以使用部分归纳规则tk轻松证明tk.pinduct函数的部分正确性定理：

lemma tk_altdef:
  assumes "tk_dom (x, y, z)"
  shows   "tk x y z = (if x ≤ y then y else if y ≤ z then z else x)"
  using assms by (induction rule: tk.pinduct) (simp_all add: tk.psimps)

tk_dom (x, y, z)的假设表明tk以值(x, y, z)终止。

现在，如果我正确阅读了您链接的论文，则终止证明模板如下所示：

termination proof (relation "m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {}", goal_cases)
  case 1
  show "wf (m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {})"
    by (auto intro: wf_mlex)
next
  case (2 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (3 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (4 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (5 x y z)
  thus ?case sorry
qed

在这里的最后四种情况下，您将不得不做一些实际工作，以证明该措施有所减少。 <*mlex*>运算符将几种量度组合为一个字典式量度。显示该度量包含某些内容的相关规则是mlex_less和mlex_le。

在Isabelle中证明Takeuchi功能的终止

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