使用递归编程用L形三片式瓦片填充n * m片矩阵的方法数量

Question

我正在寻找一种解决此问题的方法，其中您必须用L形的三块瓷砖填充n * m（n，m <= 8）块矩阵。磁贴不能以任何方式彼此叠置。

我并不一定要寻找完整的答案，而只是提示如何使用它。

来源：https://cses.fi/dt/task/336

Answer 1

我使用graph problem recursive算法和backtracking算法解决了memoization问题。我的解决方案不是特别快，并且需要一分钟左右的时间来解决9x12网格，但对于您所问的8x8网格应该足够了（在9x9上大约需要一秒钟）。对于7x7和8x8网格，没有解决方案，因为它们不能被triomino大小3整除。

策略是从网格的一个角落开始，逐格移动，在合法的情况下尝试放置每个块，从而有条不紊地探索解决方案空间。

如果放置一个积木是合法的，但是在网格中创建了一个无法填充的气穴，则卸下该积木；我们知道提前没有解决该状态的方法，可以放弃探索它的孩子。例如，在3x6网格上，

abb.c.
aabcc.
......

是无法解决的。

一旦达到所有单元格都已填充的状态，我们就可以向其父状态报告1个解的计数。这是一个解决3x6网格的示例：

aaccee
abcdef
bbddff

如果每个可能的块都放置在某个位置，请回溯，在此过程中将解决方案计数报告给父状态，并探索尚未探索的任何状态。

就记忆而言，如果瓦片的某种排列方式使得它们覆盖完全相同的坐标，则称任意两个网格状态等效。例如：

aacc..
abdc..
bbdd..

和

aacc..
bacd..
bbdd..

即使通过不同的图块放置达到了两个状态，也认为

是等效的。两种状态都具有相同的子结构，因此计算一种状态的解决方案数量就足够了。将其添加到备忘录中，如果再次达到状态，我们只需报告备忘录中的解决方案数量即可，而无需重新计算所有内容。

我的程序在3x6网格上报告了8个解决方案：

正如我提到的那样，我的Python解决方案不是快速的，也不是优化的。不到一秒钟即可解决9x12网格。除了进行大型优化外，我在实现过程中还忽略了一些基本的东西。例如，我为每个图块位置复制了整个网格；在单个网格上添加/删除磁贴将是一个容易的改进。我也没有检查网格中无法解决的间隙，可以在动画中看到。

解决问题后，请务必四处寻找人们提出的令人鼓舞的解决方案。我不想为此付出更多！

Answer 2

有一个技巧可用于许多递归枚举问题。无论采用哪种方式，都可以定义确定性的过程，以从非空的部分解决方案中删除一个部分。然后，递归枚举朝相反的方向工作，从空解中构建可能的解，但是每次放置一块时，同一块必须是确定性过程中要删除的那个。

如果在开始枚举之前验证板的尺寸可以被三分之一，那么时间限制就不会有问题。