TL; DR

Question

假设模块A的运行时间为常数M，N为输入数据的大小。

1. Set J:=N.
2. Repeat Steps 3 and 4 while J>1.
3.   Module A.
4.   Set J:=J/2.
     [End of Step 2 loop.]
5. Return.

Answer 1

TL; DR

此算法的时间复杂度为 O（log（n））

说明

由于模块A 在恒定的时间M中运行，因此可以说其运行时间为 O（1）
Set J:=J/2指令也一样，它在 O（1）
让我们说第二行的循环总共运行了 K 次。因此，在循环完成K次迭代之后，我们将得出 J = 1 。
- 在循环的第1次迭代之后，我们还有 N / 2 次迭代。 2号之后，我们有 N / 4 。第3个 N / 8 ，第4个 N / 16 ，依此类推。
- 经过 K 次迭代（当循环完成迭代时），我们将得到 J = 1 = N /（2 ^ K）。
- 所以 N /（2 ^ K）= 1 ，这使我们得到 N = 2 ^ K 。因此，迭代次数为 K = log2（N）
循环的每次迭代中的指令采用 O（1），我们最终得到的总数为 O（log（N））

注释

这里是article，它在Binary Search Algorithm中使用它来说明这一概念

Answer 2

给定一个整数除数可以在恒定时间内完成，该算法的时间复杂度为 O（log N）。对于（很大）数字，将其除以2会花费一些额外的时间： O（log K）和 K 是要除的值。

当J小于或等于1时，算法停止。因此，这意味着如果J=2，则将花费 M + 1 个步骤（该时间用于评估模块，并且将J除以2，我们在这里假设除以2需要固定的时间。

现在为J=2*K（带有K一个变量），它再次需要 M + 1 个步骤来完成循环，以及使用{{1}所花费的时间}解决问题。

所以这意味着我们得到以下方程式：

J=K

因此，我们看到工作量随着迭代次数的增加而线性增长，迭代次数的上限为 log ₂ N ：如果必须执行 K 个步骤，则初始 N 在 2 ^K-1 +1 之间和 2 ^K 。

这意味着步骤总数受以下限制：

T(1) = 0
T(N) = T(N/2) + M + 1

T(N) = (M+1) * log2(N)是常量，因此意味着M是常量，因此 variable 部分是M+1。这是 O（log N）。

但是严格来说，如果 N 可能非常大，以至于我们需要任意数量的内存，则划分不是恒定的。如果我们使用二进制数系统，则可以将 O（log K）中的位与 K 数相除以除以2（和 log ₂ k 个位数）。

在这种情况下，需要采取以下步骤：

log2(N)

通过T(1) = 0 T(N) = T(N/2) + M + log2(N)迭代，步数受以下限制：

log ₂（i）与 i 从 1 到 k 的总和em>等于 log ₂（k！），其上限为 O（k log k）。由于 k 步数受 O（log N）约束，因此这意味着除法的总时间复杂度为 O（log N× log（log N））。所有对该模块的调用的总时间复杂度保持为 O（M×log N），因此 O（log N），因此时间复杂度为 O（log N×（1 + log（log N））），或更简单的 O（log N + log N×log（log N））。

但是可以略微更改算法，以使我们不必明确执行这些划分：我们可以使用某种光标，每次将光标向前移动一步，直到 N 是“精疲力尽”，在这种情况下，时间复杂度再次为 O（log N）。

如何找到以下提到的算法的执行时间？

2 个答案:

TL; DR

说明

注释