Question

我试图浏览著名而精彩的software foundations book，但我举了一个例子，其中simpl.和reflexivity.仅在幕后做了很多事情，并且阻碍了我的学习和理解。

我正在经历以下定理：

Theorem plus_1_neq_0 : forall n : nat,
  beq_nat (n + 1) 0 = false. (* n+1 != 0 *)
Proof.
  intros n.
  destruct n as [| n'].
    -simpl. reflexivity.
    -simpl. reflexivity.
Qed.

我真正想要的是让我逐步了解simpl.和reflexivity.所做的事情。有什么可以让我做到的吗？

Destruct应该解决以下问题：

因为beq_nat的第一个参数（只是not equal，即!=）进行匹配，但第一个输入取决于未知变量n和+的相同内容，因此匹配无法执行任何操作，因此simpl.会使我们陷入困境（出于某种原因）。

由于Coq后来接受了证明，因此它显然必须解决它。但是，如果仔细观察第二个目标是什么，似乎会再次引入与上述相同的问题：

2 subgoals
______________________________________(1/2)
beq_nat (0 + 1) 0 = false
______________________________________(2/2)
beq_nat (S n' + 1) 0 = false

现在我们再次将n'和beq_nat都作为第一个参数。但是，对于像我这样的新手来说，+这次奇迹般地由于某种神秘的原因而工作了。我显然读过simpl. documentation，但是作为一个新手，我真的不知道自己在寻找什么，对我来说，形成浓厚的理解对我很有帮助...

无论如何，为什么它在这里起作用？我要问的原因是因为在这个示例证明中使用destruct绝不会发生，特别是simpl.重复出现一个未知变量的原因，并且似乎能够看到真正发生的事情或有所不同将很有用。因此，我认为逐步检查这些类型的事件很有用（而不是隔天发布新的SO问题）。

请注意，我确实看到了这个问题：

Step by step simplification in coq?

但是我找不到使它有用的方法，因为它是为特定示例量身定制的。希望我的问题不会局限于我的特定示例，尽管由于不知道n'（或simpl.）如何工作（或至少不知道如何工作）而逐步分解可能不会发生，上述问题的以上答案给了我这种印象）。

Answer 1

分解评估的一种方法是根据the question you linked的建议给simpl赋一个参数。 simpl f仅允许简化在对f的调用下出现的子表达式。在这种情况下，simpl Nat.add（或simpl plus或simpl "+"）将S n' + 1简化为S (n' + 1)。然后simpl beq_nat将beq_nat (S (n' + 1)) 0变成false。

对于reflexivity，它可以得出比较之下的两个术语是否相等，直到简化为止，这意味着，如果我没有记错的话，您总是可以将{{1 }}。

Answer 2

逐步减少此步骤：

beq_nat (S n' + 1) 0 = false

  (* Without the `+` notation, which is purely for pretty-printing: *)

beq_nat (plus (S n') 1) 0 = false

  (* by definition of plus:   plus (S n') 1 = S (plus n' 1) *)

beq_nat (S (plus n' 1)) 0 = false

  (* by definition of `beq_nat`,

     beq_nat (S (plus n' 1)) 0 =
     = match S (plus n' 1) with
       | O => ... (* unreachable *)
       | S m => match 0 with
                | O => false
                | S _ => ...
                end
       end
     = match 0 with
       | O => false
       | S _ => ...
       end
     = false
  *)

false = false

如何逐步检查在Coq中采取哪些更复杂的策略？

2 个答案: