Question

对于大商来说，整数除法（//）不一定等于规则除法的底数（math.floor(a/b)）。

根据Python文档（https://docs.python.org/3/reference/expressions.html-6.7），

整数的整数除法得到一个整数；结果是对数学结果进行了除法，并将“ floor”函数应用于结果。

但是，

math.floor(648705536316023400 / 7) = 92672219473717632

648705536316023400 // 7 = 92672219473717628

'{0:.10f}'.format(648705536316023400 / 7)的结果为'92672219473717617632.0000000000'，但小数点后两位应该是28，而不是32。

Answer 1

您的测试用例中的商不同的原因是，在math.floor(a/b)情况下，结果是使用浮点算术（IEEE-754 64位）计算的，这意味着有最高的精度。您的商数大于2 ⁵³的限制，超过该限制后，浮点数将不再精确到单位。

但是，通过整数除法，Python使用了其无限的整数范围，因此结果是正确的。

另请参阅"Semantics of True Division" in PEP 238：

请注意，对于int和long参数，真正的除法可能会丢失信息；这是真正划分的性质（只要理性不在语言中）。有意识地使用long的算法应考虑使用//，因为long的真正除法最多可保留53位精度（在大多数平台上）。

Answer 2

您可能正在处理的整数值太大而无法精确表示为浮点数。您的电话号码明显大于2 ^ 53，即where the gaps between adjacent floating point doubles start to get bigger than 1。因此，进行浮点除法时会失去一些精度。

另一方面，整数除法是精确计算的。

Answer 3

您的问题是，尽管有时有时将“ /”称为“真除法运算符”，并且其方法名称为__truediv__，但其对整数的行为不是“真数学除法”。取而代之的是，它产生的浮点结果不可避免地具有有限的精度。

对于足够大的数字，即使数字的整数部分也可能会遇到浮点舍入误差。将648705536316023400转换为Python浮点数（IEEE两倍）时，会将其舍入为648705536316023424 ¹。

我似乎找不到关于当前Python内置类型上的运算符确切行为的权威文档。引入该功能的原始PEP声明“ /”等效于将整数转换为浮点，然后执行浮点除法。但是，在Python 3.5中进行的快速测试表明情况并非如此。如果是这样，则以下代码将不会产生任何输出。

for i in range(648705536316023400,648705536316123400):
    if math.floor(i/7) != math.floor(float(i)/7):
        print(i)

但至少对我而言，它确实会产生输出。

在我看来，Python似乎正在对所给出的数字进行除法，并将结果四舍五入以适合浮点数。以该程序输出为例。

648705536316123383 // 7                   == 92672219473731911
math.floor(648705536316123383 / 7)        == 92672219473731904
math.floor(float(648705536316123383) / 7) == 92672219473731920
int(float(92672219473731911))             == 92672219473731904

Python标准库确实提供了分数类型，并且分数被整数除的除法运算符确实执行了“真正的数学除法”。

math.floor(Fraction(648705536316023400) / 7) == 92672219473717628
math.floor(Fraction(648705536316123383) / 7) == 92672219473731911

但是，您应该意识到使用Fraction类型可能会严重影响性能和内存。请记住，分数可以增加存储需求，而幅度不会增加。

为进一步检验“一舍入与二舍入”的理论，我用以下代码进行了检验。

#!/usr/bin/python3
from fractions import Fraction
edt = 0
eft = 0
base = 1000000000010000000000
top = base + 1000000
for i in range(base,top):
    ex = (Fraction(i)/7)
    di = (i/7)
    fl = (float(i)/7)
    ed = abs(ex-Fraction(di))
    ef = abs(ex-Fraction(fl))
    edt += ed
    eft += ef
print(edt/10000000000)
print(eft/10000000000)

与直接转换为浮点运算相比，直接进行除法运算的平均误差幅度要小得多，从而支持一舍入与二进位理论。

¹请注意，直接打印浮点数不会显示其确切值，而是显示将舍入到该值的最短十进制数（允许从浮点数到字符串再返回无损往返转换）浮动）。

Answer 4

通过“数学除法”，Python文档表示实数上的 exact 除法。

现在，回到关于整数除法（又称欧几里得除法）与浮点除法（比“常规除法”更好的术语）的底数的问题，我在2005年研究了这个问题。最接近基数2的整数，如果x-y可以精确表示，则浮点除法x / y的下限（即math.floor(x/y)）等于整数除法。您可以获取论文on my web site或on HAL。

整数除法是否总是等于常规除法的下限？

4 个答案: