Question

我正在尝试编写一个递归函数，以将一个数字升为另一个数字的幂，如果n为偶数或x ^ n = x *（x ^，则x ^ n =（x ^（n / 2）^ 2 （n-1）），如果n为奇数。

我已经考虑了很长时间，并尝试了一些方法但老实说，我不知道如何解决这个问题，尤其是当n为奇数时。我编写了一些代码，以防n为偶数，但是我什至不知道发布它是否有意义，因为它背后的逻辑本身已经很糟糕了。

任何帮助表示赞赏！

int power(int x, int n){
  int result = 1;

  if(n % 2 == 0){
    n /= 2;
    for(; n > 0; n--){
      result *= x;
    }
    power(result, 2);
  }

  return result;

}

第二次尝试，没有for循环：

int power(int x, int n){
  int result = 1;

  if(n % 2 == 0){
    result *= x;
    power(x, n / 2);
  }

  return result;

}

Answer 1

这里是使用递归“ x ^ n =（x ^（n / 2）^ 2如果n为偶数，或者x ^ n = x *（x ^（n-1））如果使用n则”的直译：

int power(int x, int n){
    int temp;

    if(n % 2 == 0){
        // n is even
        temp = power(x, n / 2);
        return temp * temp;
    } else {
        // n is odd
        return x * power(x, n - 1);
    }
}

请注意，此代码是有意的错误（可能会“永远”递归并导致堆栈溢出），因为原始说明未包含针对n = 0情况的特殊处理。

对于更正确/更少文字的版本：

int power(int x, int n){
    int temp;

    if(n % 2 == 0){
        // n is even
        if(n == 0) {
            return 1;
        }
        temp = power(x, n / 2);
        return temp * temp;
    } else {
        // n is odd
        return x * power(x, n - 1);
    }
}

当然（因为可读性，可维护性和性能）这是比较糟糕的，因为要求很糟糕。忽略要求（并且不是递归的）的版本将是：

int power(int x, int n){
    int result = 1;

    while(n > 0) {
          if( (n & 1) != 0) {
              result *= x;
          }
          n >>= 1;
          x *= x;
    }
    return result;
}

主题外的

对于计算能力，如果将指数转换为二进制，则可以使用每个二进制数字作为标志来确定是否将结果与“每次迭代的平方”临时值相乘。例如，x**5与(x**4) * (x**1)相同，因为5 == 101b。

这在需要处理小数指数时非常重要/有用。例如，x**5.5与(x**4) * (x**1) * (x**0.5)相同，因为5.5 == 101.1b。

换句话说，从指数的小数点开始，一直到指数的整数部分的最高有效位，您可以if(next bit of exponent was set) { result *= temp}; temp *= temp;;然后从指数的小数点开始，一直到指数的小数部分的最低有效位，就可以if(next bit of exponent was set) { result *= temp}; temp = sqrt(temp);。

当我第一次编写此答案时，最后一个示例代码是使用我在此描述的“将指数转换为二进制数字”方法编写的，而与“ x ^ n =（x ^（n / 2）^”无关2如果n是偶数，或者x ^ n = x *（x ^（n-1））如果n是奇数”，直到后来我才意识到原来问题中的方法最终是不同角度的等效代码。

Answer 2

在进入代码之前，让我们看看您应该如何评估它，看看我们是否可以更好地理解它。我将使用monospace进行数学运算，而不是使用C代码来更轻松地区分它：

首先，出于稍后讨论的原因，我需要将您的规则更改为偶数。我将不写(x^(n/2))^2，而是写squared。您需要以与其他部分不同的方式处理此部分。除此之外，您问题中^的每个实例都意味着“我们需要使用相同的算法来计算此功效”。

这意味着您的算法是：

如果n是偶数，则x^n = (x^(n/2)) squared。
如果n为奇数，则x^n = x*(x^(n-1))。

让我们用一个简单的3^5示例来看看它是如何进行的。如果将其扩展，则由于5是奇数，因此最终会得到3 * (3^4)。您仍然不知道3^4是什么，因此您需要使用相同的算法再次将其扩展。由于4是偶数，因此将其计算为(3^2) squared，因此3^5的完整值为3 * ((3^2) squared)。同样，我们使用相同的算法评估^；因为2也是偶数，所以它变成3 * ((3^1 squared) squared)。这也有一个^;所以我们做同样的事情：使用上面的算法。由于1是奇数，因此变成3 * (((3 * 3^0) squared) squared)。

现在，0是偶数，但是一旦您进入3^0，继续尝试使用较小的功率就没有意义了。由于0/2是0，因此您将回到起点，尝试再次评估3^0。因此，0需要作为特殊情况进行处理。这为算法添加了第三条规则：

如果n是0，则x^n = 1。

在代码中，您需要先检查此项，然后再检查“如果n是偶数”规则，因为0是偶数，我们要先运行此检查。每个递归算法都有至少一个这样的特殊情况，有时甚至更多。术语是基本情况。¹

现在我们有了处理x^0的规则，我们可以继续查找3^5。我们的最后一步是3 * (((3 * 3^0) squared) squared)。使用我们的x^0规则，它变成3 * (((3 * 1) squared) squared)。由于此表达式中不再包含^，因此我们已完成递归。现在我们只需要计算结果：3 * ((3 squared) squared)。您仍然需要不使用此squared操作来解决^，但是由于指数是固定的，您可以将其写为乘法。如果这样做，您将得到3 * (9 squared)，然后是3 * 81，然后是243，这是我们的最终答案。

在评论中，您问“函数如何知道幂表示乘以n乘以基数”。答案是“我们计算了3*1，然后对结果求平方两次，然后再乘以3。这就是所有乘法的结果：有些是3的完全乘法，并且是平方有效的乘法运算次数增加了一倍。”

¹递归的标准示例是阶乘（n! = n * (n-1)!和斐波那契数（F(n) = F(n-1) + F(n - 2)）。对于阶乘，基本情况为0! = 1，对于斐波那契数，有两个基本情况， F(0) = 0和F(1) = 1。

一些松散的结局：

在偶数情况下使用相同的幂函数进行平方的问题是，它将导致3^2处的无限循环。如果我们在不改变偶数规则的情况下进行评估，则会得到(3^1)^2。如我们所见，3^1是3，所以我们将回到3^2。这告诉我们3^2等于3^2，这是正确的，但没有用。另一种选择是使n = 2之后的n = 0成为另一种基本情况，但是这种方式更简洁。
在添加基本案例并使用squared而不是^2来处理偶数之后，最终算法是：
- 如果n是0，则x^n = 1。
- 否则，如果n是偶数，则x^n = (x^(n/2)) squared。
- 否则n是奇数，所以x^n = x*(x^(n-1))。
要将其放入代码中，请参见Brendan's answer。由于查看调用堆栈很有用，因此以下是该答案的第二版代码中发生的事情，与我描述的非常接近：
- power(3, 5)执行return 3 * power(3, 4);。
- power(3, 4)执行temp = power(3, 2);。
- power(3, 2)执行temp = power(3, 1);。
- power(3, 1)执行return 3 * power(3, 0);。
- power(3, 0)返回1到power(3, 1)。
- power(3, 1)计算3 * 1并将3返回到power(3, 2)。
- power(3, 2)执行return temp * temp，评估3 * 3，然后将9返回到power(3, 4)。
- power(3, 4)执行return temp * temp，评估9 * 9，然后将81返回到power(3, 5)。
- power(3, 5)计算3 * 81并返回243。
在编程中，尤其是在类似C语言的编程中，我经常看到**用于求幂而不是^，因为^意味着其他含义（按位xor）。

Answer 3

#include <stdio.h>

int power(int n1, int n2);

int main()
{
    int base, powerRaised, result;

    printf("Enter base number: ");
    scanf("%d",&base);

    printf("Enter power number(positive integer): ");
    scanf("%d",&powerRaised);

    result = power(base, powerRaised);

    printf("%d^%d = %d", base, powerRaised, result);
    return 0;
}

int power(int base, int powerRaised)
{
    if (powerRaised != 0)
        return (base*power(base, powerRaised-1));
    else
        return 1;
}

改进的功率递归功能

3 个答案: