使用量化定义证明多项式的大theta

Question

如何使用定量定义证明大Theta？我知道你必须找到2个常数，使得c1 * g（n）<= f（n）<= c2 * g（n）-，但是如何找到这些常数？

有人可以帮我证明以下内容来演示5x3 − 7x2 + 5x +1 =Θ（x3）吗？

Answer 1

让我们假设x > 0，通常就是我们所拥有的。

5x^3 − 7x^2 + 5x + 1 <= 5x^3 + 5x + 1
                     <= 5x^3 + 5x^3 + x^3          ; x >= 1
                      = 11x^3

另一方面

5x^3 − 7x^2 + 5x + 1 >= 5x^3 - 7x^2
                     >= 5x^3 - 4x^3                ; if 7x^2 <= 4x3, i.e. x >= 7/4
                      = x^3

最后，对于x >= 7/4，我们有：

x^3 <= (5x^3 − 7x^2 + 5x + 1) <= 11x^3

我们完成了。