Question

一元常数公理是可逆的（模路径）吗？是否可以使用Agda's Cubical library来证明以下内容：

open import Cubical.Core.Glue

uaInj : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} {f g : A ≃ B} → 
  ua f ≡ ua g → equivFun f ≡ equivFun g

我怀疑上面的内容应该成立，因为在the HoTT book的示例3.19中，证明中存在一步，其中两个等价之间的等价用于证明它们的功能之间的等价：

[...]因此f是一个   等价。因此，由于f的不言而喻，便产生了一条路径p : A ≡ A。

如果p等于refl A，那么{同样地，通过无保留）f将等于   A的身份功能。

Answer 1

当然，ua是等价的，因此是单射的。在HoTT书中，ua的倒数是idtoeqv，因此，根据同余度idtoeqv (ua f) ≡ idtoeqv (ua g)然后通过倒数f ≡ g。我对立方Agda前奏的内容不熟悉，但这应该可以证明，因为它直接来自于无节制的陈述。

Answer 2

要将András's answer放入代码中，我们可以证明等效函数的一般性：

equivInj : ∀ {ℓ₁ ℓ₂} {A : Set ℓ₁} {B : Set ℓ₂} (f : A ≃ B) → 
  ∀ x x′ → equivFun f x ≡ equivFun f x′ → x ≡ x′
equivInj f x x′ p = cong fst $ begin
  x , refl                   ≡⟨ sym (equivCtrPath f (equivFun f x) (x , refl)) ⟩
  equivCtr f (equivFun f x)  ≡⟨ equivCtrPath f (equivFun f x) (x′ , p) ⟩
  x′ , p ∎

然后给出

univalence : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} → (A ≡ B) ≃ (A ≃ B)

我们得到

uaInj : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} {f g : A ≃ B} → ua f ≡ ua g → equivFun f ≡ equivFun g
uaInj {f = f} {g = g} = cong equivFun ∘ equivInj (invEquiv univalence) f g

唯一的问题是Cubical库中的univalence is not readily available。希望很快就能解决。

更新：针对上述错误单，proof of univalence is now available in the Cubical library。

一元性公理是内射性的吗？

2 个答案: