根据简单规则对项目进行分组的算法

Question

我想要一些帮助来找到问题的良好算法，但是我什至无法弄清楚如何抽象这个问题，所以我将把这个问题作为我想要的例子来写。

说我有一个2种类型的项目（ A 和 B ）的列表，它们都有一个值。列表看起来像这样：

1. A1：10
2. B1：11
3. A2：9
4. B2：6
5. B3：4

我的问题是，我想针对以下规则制作尽可能多的商品组：

• 必须至少有1种 A 类型项目和1种 B 类型项目
• 每组值的总和必须至少为20

算法的输出应为：

找到2个群组：

• 第1组包含A1，B2和B3
• 第2组包含A2和B1

问题的参数可能有所不同：

• 当然，此列表本身（项目数，值等）
• 项目类型的数量（从1到很多）
• 每种类型所需的物品数量（我可能希望A中至少有2件，B中至少3件）
• 最低要求值总和

我几乎可以肯定这种算法的存在，这让我想到了背包问题，但实际上我什至不知道要搜索什么。

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更新：以下是我为解决此问题而制作的算法，可帮助您更好地了解我的需求。

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算法1

此算法仅提取必需项，以达到每种类型的必需项数并达到最小和。

1. 获取A型的第一个可用物品
2. 获取B型的第一个可用物品
3. 带更多种类的物品，必要时总计20件
4. 如果达到了所有必需的项目和总和，则将项目标记为不可用，然后返回第一组
5. 循环直到无法分组为止

此算法取决于列表的顺序，并返回单个组：

• 第1组包含A1和B1

速度非常快，但没有给我想要的结果。

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算法2

此算法计算原始列表的所有可能排序，并在所有可能的情况下执行算法1。

然后，它从结果中取出最大的组数，并返回具有该组数的第一种可能性。

输出是我期望的：

找到2个群组：

• 第1组包含A1，B2和B3
• 第2组包含A2和B1

问题在于它具有指数级的复杂性，它在5个项目（120种可能性）中速度很快，而在10个项目（3628800种可能性）中速度慢。

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我需要的是一种从算法2获得结果的算法，但是速度更快，我需要一种启发式方法，但是...如何？

Answer 1

可以通过数学约束求解器轻松解决：

我们使用以下术语：

• @A =类别A的项目数
• @B =类别B的项目数
• n =分钟（@A，@B）
• G_j = i = 0至（α_j_i* A_i）的@A的总和+ i = 0至（β_j_i* B_i）的@B的总和

然后，必须具有以下等式才能得到有效的解决方案：

• G_j为0或G_j大于20
• min（α_j_0...α_j_@ A ...β_j_0...β_j_@ B）为0或1
• sum（α_0_0...α_0_n）为1（每个A使用一次）
• sum（β_0_0...β_0_n）为1（每个B使用一次）

然后我们简单地最大化

T = i = 0到n的2的总和^ G_i-1

这将为每个空组添加一个0，为每个非空组添加一个更大的值。