根据布尔限制计算将项目放入箱中

Question

我们有一个项目池。每个项目都有一组特征。每个特征都是字符串，整数或浮点数。每个项目也是特定类型。类型是分层的。

我们还有一套垃圾箱。每个bin都有一个需求，它是一个布尔表达式，包含有关项目特征的原子表达式。这些原子表达式可以是字符串，整数或浮点比较和类型比较。

我们希望将物品放在箱子中，使放置在箱子中的每个物品满足该箱子的要求。每个bin还必须包含指定数量的项目。

例如，我们可能有以下类型层次结构：

• 形状
  • 三角形
    • 等边三角形
  • 矩形
    • 方

我们可以有以下项目：

         
• LargeRedTriangle
    
         
• type = triangle
         
• color =“red”
         
• area = 1000
    
 
• SmallShape
    
 
• type = shape
 
• area = 5
    
• LargeBlueSquare     
   
  • type = square
   
  • color =“blue”
   
  • area = 2000

这是一个示例bin：

• LargeRectangles
  • （type == rectangle）和（area> 750）
  • item count = 5

我们可以将LargeBlueSquare放在LargeRectangles bin中。我们想要这个箱子中的5个项目。

这是另一个示例bin：

• NonBlueTriangles
  • （type == triangle）和（not（color ==“blue”））
  • 项目数= 10

LargeRedTriangle可以进入NonBlueTriangles bin。我们想要这个箱子中的10个物品。

因此，我们有一组物品和一组箱子。问题是找出在满足约束条件（即，箱中物品的要求和每个箱中的物品数量）的同时将物品放入箱中的方式。 （我们不需要列举所有这些方法;我们只需要知道有多少不同的方法。）

有没有一种有效的方法来确定这个数字？或者我们是否只需要“暴力”并尝试各种可能的组合？

Answer 1

如果我理解正确，您的问题归结为在二分图中找到Perfect Matchings的数量的问题。

项目形成左侧组。箱子形成了权利。如果bin需要k个项目，则可以制作该bin的k个副本。

现在，如果项目可能是bin的候选者，则在项目和bin之间形成边缘。

现在你需要在这张图中找到完美匹配的数量。

不幸的是，这是一个难题。计算图表中完美匹配的数量等同于找​​到关联矩阵的Permanent，即#P-Complete。见：Computation of the Permanent。

您最好的选择可能是随机/近似算法。