计算给定循环不变的整数幂

Question

我需要使用C ++派生一种算法，以使用循环不变性r = y ^ n和循环条件y！= m来计算整数幂m ^ n。

我尝试使用指令y = y + 1进行扩展，但我不知道如何从y ^ n中获得（y + 1）^ n，这并不难找到。所以，可能这不是正确的路径

您能帮我派生程序吗？

编辑：这是主题数据结构和算法中的问题。困难（如果有的话）不应该是数学上的。

EDIT2：为澄清起见，问题的难点在于使用不变的y ^ n和循环条件y！= m。如果我改变n，我将无法实现

Answer 1

(y+1)^n和y^n之间没有有用的关系（您可以写(y+1)^n = (√(y^n)+1)^n或(y+1)^n = (1+1/y)^n y^n，但这无济于事）。

如果将y分解，则可以利用(a.b)^n = (a^n).(b^n)，但是您需要一张素数第n次幂的表。

我看不到有意义的答案。

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您还可以想到二项式定理，

(y+1)^n = y^n + n y^(n-1) + n(n-1)/2 y^(n-2) + ... 1

但这比什么都糟：您需要计算n的二项式系数，并将y的所有幂从0更新为n。计算的总成本会高得离谱。

Answer 2

给出 w 和 P ，这样 2 ^ w> m ， P> 2 ^（wn） ，并且 2 ^（（P-1）/ 2）= -1 mod P ，

然后 2 是生成器mod P ，并且会有一些 x ，使得 2 ^ x = m mod P ，所以：

if (m<=1 || n==1)
    return m;
if (n==0)
    return 1;

let y = 2;
let r = 1<<n;

while(y!=m)
{
    y = (y*2)%P;
    r = (r*(1<<n))%P;
}
return r;

除非您的函数需要产生bignum结果，否则您只需选择适合您的语言整数的最大 P 。