如何估算稳态反应堆的动能参数

Question

我想用一些未知参数来求解ODE系统k1,k2,k3：

dC1/dx=-k1*C1
dC2/dx=k1*C1-k2*C2
dC3/dx=k2*C2-k3*C3

我有一组实验结果，C1,C2,C3（入口点）和x=0（终点）的值为x=1。

我没有x=0和x=1之间的任何数据，无法使用ode45()或ode23()之类的ODE函数来解决它，然后使用优化函数。如何在MATLAB中解决此问题？

Answer 1

这是一个由3个常微分方程组成的系统。 C1和C2处的C3，x=0和x=1的值是初始条件。您可以使用dsolve进行分析解决。在我的示例中，我假设初始条件为C1(0)=1; C2(0)=1; C3(1)=1;。您可以根据自己的数据进行修改。

syms C1(x) C2(x) C3(x) k1 k2 k3

% Define the equations using == and represent differentiation using the diff function.
ode1 = diff(C1) == -k1*C1;
ode2 = diff(C2) == k1*C1-k2*C2;
ode3 = diff(C3) == k2*C2-k3*C3;
odes = [ode1; ode2; ode3]

% Define the initial conditions using ==
cond1 = C1(0) == 1;
cond2 = C2(0) == 1;
cond3 = C3(1) == 1;
conds = [cond1; cond2; cond3];

% dsolve function finds values for the constants that satisfy these conditions.
[C1Sol(x) C2Sol(x) C3Sol(x)] = dsolve(odes, conds)

输出

odes(x) =

           D(C1)(x) == -k1*C1(x)
 D(C2)(x) == k1*C1(x) - k2*C2(x)
 D(C3)(x) == k2*C2(x) - k3*C3(x)


C1Sol(x) =

exp(-k1*x)


C2Sol(x) =

-(exp(-k1*x)*exp(-k2*x)*((k1^2*k2*exp(k2*x))/((k1 - k2)*(k1 - k3)) - (k2^2*exp(k1*x)*(2*k1 - k2))/((k1 - k2)*(k2 - k3)) - (k1*k2*k3*exp(k2*x))/((k1 - k2)*(k1 - k3)) + (k2*k3*exp(k1*x)*(2*k1 - k2))/((k1 - k2)*(k2 - k3))))/k2


C3Sol(x) =

-exp(-k1*x)*exp(-k2*x)*exp(-k3*x)*((k2*exp(k1*x)*exp(k3*x)*(2*k1 - k2))/((k1 - k2)*(k2 - k3)) - (k1*k2*exp(k2*x)*exp(k3*x))/((k1 - k2)*(k1 - k3)) + (exp(k1*x)*exp(k2*x)*exp(k3)*(k1*k2^2 - k1^2*k2 - k1*k3^2 + k1^2*k3 + k2*k3^2 - k2^2*k3 + k1*k2^2*exp(-k1) + k1*k2^2*exp(-k2) - 2*k1^2*k2*exp(-k2) - k2^2*k3*exp(-k2) - k1*k2*k3*exp(-k1) + 2*k1*k2*k3*exp(-k2)))/((k1 - k2)*(k1 - k3)*(k2 - k3)))

Answer 2

您可以尝试使用边界值求解器bvp4c（或bvp5c）。可以满足的边界条件的数量是ODE的维数与未知参数的数量之和，因此，要将参数固定为6个已知值的6个可能条件。也就是说，传递给求解器的函数是

function dCdx = odesys(x,C,k)
    dCdx = zeros_like(C)
    dCdx(1) = -k(1)*C(1)
    dCdx(2) =  k(1)*C(1)-k(2)*C(2)
    dCdx(3) =  k(2)*C(2)-k(3)*C(3)

function bc = boundary(C0, CT, k)
    bc = [ C0(1)-c01, C0(2)-c02, C0(3)-c03, CT(1)-cT1, CT(2)-cT2, CT(3)-cT3 ]

作为初始猜测，您可以在已知值之间使用一些线性插值。

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关于提供边界值的修改后系统

dC1/dx=-k1*C1/(1+k1*C1) ; 
dC2/dx=k1*C1/(1+k1*C1)-k2*C2 ; 
dC3/dx=k2*C2-k3*C3 ; 

在脚本中使用类似的python求解器（但将x1更改为100）

c0A, c0B, c0C = 293.3 , 2.1414, 3.6884
c1A, c1B, c1C = 208.09, 33.823, 78.561 
x0, x1 = 0.0, 100.0

def odesys(x,C,k):
    dCdx = zeros_like(C)
    dCdx[0] = -k[0]*C[0]/(1+k[0]*C[0]) ;
    dCdx[1] =  k[0]*C[0]/(1+k[0]*C[0])-k[1]*C[1]
    dCdx[2] =  k[1]*C[1]-k[2]*C[2]
    return dCdx

def bc(C0, C1, k):
    return [ C0[0]-c0A, C0[1]-c0B, C0[2]-c0C, C1[0]-c1A, C1[1]-c1B, C1[2]-c1C ]

x_init = linspace(x0,x1,21)
s = (x_init-x0)/(x1-x0)
C_init = [ c0A+s*(c1A-c0A), c0B+s*(c1B-c0B), c0C+s*(c1C-c0C)]

k = [1.0e-2, 1.0, 1.0]

res = solve_bvp(odesys, bc, x_init, C_init, k)
print res.message, res.p

它将参数[ k1, k2, k3]的结果打印为

The algorithm converged to the desired accuracy. 
[ 0.02319266  0.02248122 -0.00678455]

第三个参数是非物理上的负数，暗示该模型或某些参数不正确。此外，绘制解决方案：

x_sol=np.linspace(x0,x1,301)    
C_sol=res.sol(x_sol)
for k in range(3): plt.subplot(1,3,k+1); plt.plot(x_sol, C_sol[k]); plt.grid()
plt.show()

似乎显示正确的行为。使用这些参数与另一种积分方法进行正向积分可以确认解决方案的正确性

C_int = odeint( lambda C,t: odesys(t,C,res.p), res.sol(0), x_sol)
for k in range(3): plt.subplot(1,3,k+1); plt.plot(x_sol, C_int[:,k]); plt.grid()
plt.show()