普通压缩背后的数学

Question

下面的代码（由C＃重写）用于压缩Wild Magic 5.17中的单位法向矢量，有人可以在其后面解释一些数学运算或共享一些相关的引用吗？ 我可以弄清楚八位位的设置，但是尾数的打包和拆包似乎很复杂...

codes gist

一些代码在这里

// ...

public static ushort CompressNormal(Vector3 normal)
{
    var x = normal.x;
    var y = normal.y;
    var z = normal.z;
    Debug.Assert(MathUtil.IsSame(x * x + y * y + z * z, 1));

    // Determine octant.
    ushort index = 0;

    if (x < 0.0)
    {
        index |= 0x8000;
        x = -x;
    }
    if (y < 0.0)
    {
        index |= 0x4000;
        y = -y;
    }
    if (z < 0.0)
    {
        index |= 0x2000;
        z = -z;
    }

    // Determine mantissa.
    ushort usX = (ushort)Mathf.Floor(gsFactor * x);
    ushort usY = (ushort)Mathf.Floor(gsFactor * y);
    ushort mantissa = (ushort)(usX + ((usY * (255 - usY)) >> 1));
    index |= mantissa;

    return index;
}

// ...

Answer 1

作者想使用13位。
简单的方法：x分量的 6位+ y的6位-仅占12位，因此他发明了为x和y分配〜90（lsb）单位和y分配〜90（msb）单位的方法（90 * 90〜2 ^ 13）。

我不知道他为什么对y分量使用二次公式-这种方式在较小值和较大值之间给出近似值的分布略有不同-但是为什么专门针对y？

Answer 2

我问过Eberly先生（Wild Magic的作者），他给上面的ref（简而言之，desc）代码尝试将（x，y）映射到三角形数组的索引（索引从0到N * （N +1）/ 2-1）

更多详细信息在此处的相关doc中， 顺便说一句，另一个使用不同压缩方法的解决方案here。