Question

（注意：我使用Haskell术语来表述这个问题；欢迎使用相同的术语和/或范畴论的数学语言来回答，包括适当的数学定义和公理，其中我涉及函子和莫纳德定律。）

众所周知，每个monad也是函子，函子的fmap等同于monad的liftM。这是有道理的，并且当然适用于所有常见/合理的monad实例。

我的问题是fmap和liftM的等价性是否可以由函子和单子定律证明。如果是这样，很高兴看到如何做，如果不是，那么很高兴看到一个反例。

为澄清起见，我知道的函子和单子定律如下：

fmap id≡id
fmap f . fmap g≡fmap (f . g)
return x >>= f≡f x
x >>= return≡x
(x >>= f) >>= g≡x >>= (\x -> f x >>= g)

在这些定律中，我没有看到任何将函子功能（fmap）与单子功能（return和>>=）相关的内容，因此我很难看到如何从中得出fmap和liftM（定义为liftM f x = x >>= (return . f)）的等价关系。也许对此有一个论点，不足以让我发现吗？或者也许我错过了一些法律？

Answer 1

您错过的是参数定律，也称为自由定理。参数化的后果之一是所有多态函数都是自然变换。自然表示任何形式的多态函数

t :: F a -> G a

其中F和G是仿函数，并与fmap通勤：

t . fmap f = fmap f . t

如果我们可以制作涉及liftM且具有自然变换形式的东西，那么我们将有一个与liftM和fmap相关的方程式。 liftM本身不会产生自然转换：

liftM :: (a -> b) -> m a -> m b
              --       ^______^
              -- these need to be the same

但这是个主意，因为(a ->)是函子：

as :: m a
flip liftM as :: (a -> b) -> m b
              --  F    b  -> G b

让我们尝试在flip liftM m上使用参数性：

flip liftM m . fmap f = fmap f . flip liftM m

前一个fmap在(a ->)函子上，其中fmap = (.)，所以

flip liftM m . (.) f = fmap f . flip liftM m

Eta扩展

(flip liftM m . (.) f) g = (fmap f . flip liftM m) g
flip liftM m (f . g)     = fmap f (flip liftM m g)
liftM (f . g) m          = fmap f (liftM g m)

这是有希望的。以g = id：

liftM (f . id) m = fmap f (liftM id m)
liftM f m        = fmap f (liftM id m)

显示liftM id = id就足够了。可能来自其定义：

liftM id m
   = m >>= return . id
   = m >>= return
   = m

是的！ Qed。

Answer 2

对于本练习，我发现使用public static void setDiet (Dinosaur dino, String TyranDiet) { dino.diet = TyranDiet; } public static void setHP (Dinosaur dino, int TyranHP) { dino.HP = TyranHP; } public static void setDamage (Dinosaur dino, int TyranDamage) { dino.damage = TyranDamage; }比使用join更容易。可以通过>>=和return来等效地定义一个monad，

join

实际上，1) join . join = join . fmap join 2) join . return = join . fmap return = id和join是可互定义的：

>>=

您提到的法律与上述法律相对应（我不会证明这一点）。

然后，我们有：

x >>= f = join (fmap f x)
join x = x >>= id

单子提升M和函子fmap是否必须相等？

2 个答案: