Question

Id的某些实例也是Category的实例。例如：

Functor

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification, TupleSections #-} import Prelude hiding (id, (.)) import Control.Category import Control.Arrow data State a b = forall s. State (s -> a -> (s, b)) s apply :: State a b -> a -> b apply (State f s) = snd . f s assoc :: (a, (b, c)) -> ((a, b), c) assoc (a, (b, c)) = ((a, b), c) instance Category State where id = State (,) () State g t . State f s = State (\(s, t) -> assoc . fmap (g t) . f s) (s, t) (.:) :: (Functor f, Functor g) => (a -> b) -> f (g a) -> f (g b) (.:) = fmap . fmap instance Functor (State a) where fmap g (State f s) = State (fmap g .: f) s instance Arrow State where arr f = fmap f id first (State f s) = State (\s (x, y) -> fmap (,y) (f s x)) s arr f = fmap f id。是instance Arrow State的所有实例都是如此，这些实例也是Category的实例吗？类型签名是：

Functor

在我看来，它们应该是等价的。

Answer 1

首先让我们清楚Arrow C的含义。嗯，这是两个完全不同的东西 - 在我的书中，

well-pointed monoidal categories。
categories which generalise Hask。

arr来自后者。 “概括” Hask ？这意味着只需要从 Hask 类别到C的映射。 - 从数学上讲，从一个类别到另一个类别的映射正是functor的作用！（标准的Functor类实际上只涵盖了一种非常特殊的函子，即 Hask 上的endofunctors。）arr是非endofunctor的态射方面，即“canonical embedding functor” Hask →C。

从这个角度来看，前两个箭头法则

arr id = id
arr (f >>> g) = arr f >>> arr g

只是仿函数法。

现在，如果您为某个类别实施Functor实例，这意味着什么？为什么，我敢说它只是意味着你表达了同样的规范嵌入仿函数，而是通过 Hask 中的C的必要表示（这使得它成为整体的endofunctor）。因此，我认为是的，\f -> fmap f id应该等同于arr，因为基本上它们是两种表达同一事物的方式。

Answer 2

这是一个补充左撇子解释的推导。为清楚起见，我将为(.)保留id和(->)，并为常规(<<<)方法使用id'和Category。

我们从preComp开始，也称为(>>>)：

preComp :: Category y => y a b -> (y b c -> y a c)
preComp v = \u -> u <<< v

fmap在 Hask endofunctors之间进行自然转换。对于Category实例Functor，preComp v是自然转换（从y b到y a），因此它与{{1}通勤}}。由此得出：

fmap

那是我们的候选人fmap f . preComp v = preComp v . fmap f fmap f (u <<< v) = fmap f u <<< v fmap f (id' <<< v) = fmap f id' <<< v fmap f v = fmap f id' <<< v！因此，让我们定义arr。我们现在可以验证arr' f = fmap f id'遵循第一个箭头法......

arr'

......第二个也是：

-- arr id = id'
arr' id
fmap id id'
id'

我想这是我们能得到的。其他五个箭头法则涉及-- arr (g . f) = arr g <<< arr f arr' (g . f) fmap (g . f) id' (fmap g . fmap f) id' fmap g (fmap f id') fmap g (arr' f) fmap g id' <<< arr' f -- Using the earlier result. arr' g <<< arr' f，左下角指出first和arr是独立的。

（\ f - ＆gt; fmap f id）是否始终等同于arr？

2 个答案: