为什么要弄清楚一种语言的基数是否不是一个有限的问题呢？

Question

给出两种有限状态语言L1和L2，然后确定它们的交点不是有限的，这是一个可确定的问题。

怎么可能？谢谢。

Answer 1

让M1和M2为最小确定性有限自动机，其接受的语言分别为L1和L2。

首先，使用笛卡尔乘积机器结构-一种生成所需机器的算法，构造确定性有限自动机M3，其接受的语言为L1和L2的交集。

接下来，构造一个确定性有限自动机M4，该自动机接受与M3相同的语言，但是最小。也就是说，最小化M3并调用结果M4。有一种算法可以产生此结果。

接下来，构造一个确定性有限自动机M5，该自动机仅接受长度严格大于k的单词，其中k是M4中的状态数。这样的机器对于任何字母都有k + 1个状态。它的构造并不复杂。

接下来，构造一个确定性有限自动机M6，其接受的语言是M4和M5接受的语言的交集。在这里再次使用笛卡尔积算机结构。

接下来，通过最小化M6来构造确定性有限自动机M7。

在这一点上，M6是确定性有限自动机，具有一个状态，该状态根本不接受任何字符串。在前一种情况下，L1和L2的交点是有限的；在后一种情况下，该交集是无限的。为什么？

1. M1接受L1
2. M2接受L2
3. M3接受L1与L2相交
4. M4是DFA，接受L1与L2相交，并具有尽可能少的状态
5. M5仅接受会使M4两次进入其状态之一的单词
6. M6仅接受L1与L2相交的单词，这些单词也使M4两次进入其状态之一。请注意，如果M6接受任何内容，则意味着L1中的单词与L2相交，该语言的最小DFA必须循环才能接受；因为这样的循环可以跟随任意多次，所以这意味着L1与L2相交必须有无限多个单词。这与常规语言的抽水问题密切相关。
7. M7接受M6的工作，但数量很少。注意，最小化不是必需的，但它使得检查M6是否接受任何内容变得微不足道。不接受任何字符串的最小DFA具有一个无效状态。这很容易检查，并且有最小化的标准算法。

另一种显示相同内容的类似方式是，您可以构造交点的DFA，然后从| Q |检查所有长度的字符串。到| 2Q |。 DFA不会为任何有限语言提供的任何长度的字符串，但是每种无限语言都将至少具有一个这样的字符串。这是因为任何接受无限语言的DFA都必须循环，并且该循环的长度必须不大于状态数。